数学模型：Python实现整数规划
上篇文章：线性规划
文章摘要：整数规划的Python实现。
参考书籍：数学建模算法与应用(第3版)司守奎 孙玺菁。
PS：只涉及了具体实现并不涉及底层理论。学习底层理论以及底层理论实现：可以参考1.最优化模型与算法——基于Python实现 渐令 粱锡军2.算法导论(原书第3版)Thomas H.Cormen Charles E.Leiserson、Ronald L.Rivest Clifford Stein
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文章目录
- 整数规划简述
- 整数规划典例
-
- 标准指派问题
- 比赛项目排序问题
整数规划简述
目标函数：
max o r min y = ∑ i = 1 n a i x i \max\;or\;\min\; y=\sum\limits_{i=1}^{n}a_ix_i maxorminy=i=1∑naixi
约束条件：
∑ j = 1 n a i j x j ≤ o r = o r ≥ b i , i = 1 , 2 , … , m \sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\leq or = or \geq b_i,i=1,2,\dots,m j=1∑naijxj≤or=or≥bi,i=1,2,…,m
x j ≥ 0 ， j = 1 , 2 , … , n x_j\geq0，j=1,2,\dots,n xj≥0，j=1,2,…,n
x j , j = 1 , 2 , … , n x_j,j=1,2,\dots ,n xj,j=1,2,…,n中部分或者全部取整
整数规划典例
标准指派问题
参考书籍1例2.6
目标函数：
min z = ∑ i = 1 4 ∑ j = 1 5 c i j x i j \min z=\sum\limits_{i=1}^4\sum\limits_{j=1}^{5}c_{ij}x_{ij} minz=i=1∑4j=1∑5cijxij
约束条件：
∑ i = 1 4 x i j = 1 , j = 1 , 2 , … , 5 \sum\limits_{i=1}^4x_{ij}=1,j=1,2,\dots,5 i=1∑4xij=1,j=1,2,…,5
∑ j = 1 5 x i j ≤ 2 , i = 1 , 2 , … , 4 \sum\limits_{j=1}^{5}x_{ij}\leq2,i=1,2,\dots,4 j=1∑5xij≤2,i=1,2,…,4
x i j = 0 x_{ij}=0 xij=0或者 1 1 1
import numpy as np
c=np.array([[15,13.8,12.5,11,14.3],[14.5,14,13.2,10.5,15],[13.8,13,12.8,11.3,14.6],[14.7,13.6,13,11.6,14]])
import cvxpy as cp
x=cp.Variable((4,5),integer=True)
obj=cp.Minimize(cp.sum(cp.multiply(c,x)))
con=[0<=x,1>=x,cp.sum(x,axis=0)==1,cp.sum(x,axis=1)<=2]
pro=cp.Problem(obj,con)
pro.solve(solver=cp.GLPK_MI)
print(x.value)
结果如下：
注释：ECOS用于解决凸优化问题，GLPK_MI用于解决各种问题(离散或者连续变量，线性或者非线性的目标函数)。具体如何实现我自然不知拉。还得等学了最优化。
比赛项目排序问题
参考书籍1例2.10。数据，超链。
目标函数：
min y = ∑ i = 1 15 ∑ j = 1 15 w i j x i j \min y=\sum\limits_{i=1}^{15}\sum\limits_{j=1}^{15}w_{ij}x_{ij} miny=i=1∑15j=1∑15wijxij
约束条件：
∑ j = 1 15 x i j = 1 , i = 1 , 2 , … , 15 \sum\limits_{j=1}^{15}x_{ij}=1,i=1,2,\dots,15 j=1∑15xij=1,i=1,2,…,15
∑ i = 1 15 x i j = 1 , j = 1 , 2 , … , 15 \sum\limits_{i=1}^{15}x_{ij}=1,j=1,2,\dots,15 i=1∑15xij=1,j=1,2,…,15
u i − u j + 15 x i j < = 14 , i = 1 , 2 , … , 15 , j = 2 , 3 , … , 15 u_i-u_j+15x_{ij}<=14,i=1,2,\dots,15,j=2,3,\dots,15 ui−uj+15xij<=14,i=1,2,…,15,j=2,3,…,15
u 1 = 0 , 1 ≤ u i ≤ 14 , i = 2 , 3 , … , 15 u_1=0,1\leq u_i\leq14,i=2,3,\dots,15 u1=0,1≤ui≤14,i=2,3,…,15
x i j = 0 x_{ij}=0 xij=0或者 1 , i , j = 1 , 2 , … , 15 1,i,j=1,2,\dots,15 1,i,j=1,2,…,15
import pandas as pd
data=pd.read_excel("data.xlsx",header=None).fillna(0).values
import numpy as np
n=data.shape[1];w=np.zeros((n+1,n+1))
for i in range(n):
for j in range(n):
w[i,j]=sum(data[:,i]*data[:,j])
import cvxpy as cp
x=cp.Variable((n+1,n+1),integer=True)
obj=cp.Minimize(cp.sum(cp.multiply(w,x)))
u=cp.Variable(n+1,integer=True)
con=[cp.sum(x,axis=0)==1,cp.sum(x,axis=1)==1,x>=0,x<=1,u[0]==0,u[1:]>=1,u[1:]<=n+1]
for i in range(n+1):
for j in range(1,n+1):
con.append(u[i]-u[j]+(n+1)*x[i,j]<=n)
pro=cp.Problem(obj,con)
pro.solve(solver=cp.GLPK_MI)
print(x.value)
print(pro.value)
