KM算法

KM算法求完美匹配下的最大权匹配:在一个二分图中，左顶点集为A，右顶点集为B,现对于每组左右连接AiBj有权wij，求一种匹配使得所有wij的和最大。

这里的完美匹配：在二分图中，X点集中的所有点都有对应的匹配或者是Y点集中所有的点都有对应的匹配。

算法原理：

1.若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立。

2.在求当前相等子图的完美匹配失败时，需要修改顶标值扩大相等子图，具体如下：

失败的原因是因为没有找到增广路(见匈牙利算法中的M-增广路)，而是得到一颗交错树，这颗树的叶子节点都是A中的节点。我们把交错树中的A顶标都减去d,B顶标都加上d，有：

a.两端都在交错树中的边(i,j)，A[i]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。

b.A端在交错树中，B端不在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。

在这两种情况中，最后加入相等子图中的是b情况。

3.d值的求解，为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于：

min{A[i]+B[j]-w[i,j] | Ai在交错树中，Bi不在交错树中}。

算法流程：

1.给每一个顶点一个标号(顶标)，顶标初始化A为与该顶点相关联的边的最大权值，B为0。

2.用匈牙利算法寻找完备匹配；

3.若未找到完备匹配则修改可行顶标的值；

4.重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为止；

 

对代码进行模拟，会较好的理解KM算法！