【Leetcode】DP | 序列及子数组问题

300 最长递增子序列

求数组最长严格递增子序列的长度。

$D[i]$代表以$nums[i]$结尾的最长递增子序列的长度。
$$D[i]=\underset{j<i,nums[i]>nums[j]}{\max }(D[j]+1)$$
Q1：$O(n^2)$版本如何提速到$O(n\log n)$？

Q2：能否输出路径？这个不难，增加一个$record$​数组就好。

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写了第二遍了，但完全找不到贪心+二分查找的记忆……但看了一遍又不得不感叹巧妙。

贪心思想：保持长度为$i$的递增子序列，尾部元素值最小。比如[1,2,3,5]和[1,2,3,4]，优先选择$[1,2,3,4]$。

维护一个列表$tail$，$tail[i]$表示长度为$i+1$的递增子序列，能够获得的最小尾部元素值。

• 当$nums[i]$大于$tail$数组的最后一个有效元素时，将其放在$tail$数组的最后；
• 否则插入$nums[i]$，若$tails[j-1]<nums[i]\le tails[j]$，则插入$nums[i]$到位置$j$。

注意：$tail$数组中的元素并不一定是路径，反例为下图中蓝色部分。

674 最长连续递增子序列

$$D[i]=nums[i]>nums[i-1]?D[i-1]+1:0$$

class Solution {
    public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
        int maxLength = 1;
        int length = 1;
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            length = nums[i] > nums[i - 1] ? length + 1 : 1;
            maxLength = Math.max(length, maxLength);
        }
        return maxLength;
    }
}

718 最长重复子数组

给定两个数组，返回两个数组中公共的、长度最长的子数组。

令$D[i,j]$表示以$nums1[i]、nums2[j]$结尾的公共子数组最大长度。

TODO：滑动窗口解法。

class Solution {
    public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
        int m = nums1.length;
        int n = nums2.length;
        int[][] D = new int[m][n];
        int max = Integer.MIN_VALUE;

        for (int i = 0; i < m; i++) {
            D[i][0] = nums1[i] == nums2[0] ? 1 : 0;
            max = Math.max(D[i][0], max);
        }

        for (int j = 0; j < n; j++) {
            D[0][j] = nums1[0] == nums2[j] ? 1 : 0;
            max = Math.max(D[0][j], max);
        }

        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                D[i][j] = nums1[i] == nums2[j] ? D[i - 1][j - 1] + 1 : 0;
                max = Math.max(D[i][j], max);
            }
        }

        return max;
    }
}

1143 最长公共子序列

令$D[i,j]$表示$nums1[0:i]、nums[0:j]$的公共子序列最大长度。

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        char[] str1 = text1.toCharArray();
        char[] str2 = text2.toCharArray();
        
        int m = str1.length;
        int n = str2.length;
        int[][] D = new int[m][n];

        D[0][0] = str1[0] == str2[0] ? 1 : 0;
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            D[i][0] = D[i - 1][0] == 1 || str1[i] == str2[0] ? 1 : 0;
        }

        for (int j = 1; j < n; j++) {
            D[0][j] = D[0][j - 1] == 1 || str1[0] == str2[j] ? 1 : 0;
        }

        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                D[i][j] = str1[i] == str2[j] ? D[i - 1][j - 1] + 1 : Math.max(D[i - 1][j], D[i][j - 1]);
            }
        }

        return D[m - 1][n -1];
    }
}

1035 不相交的线

感觉和上一题是一样滴耶。

令$D[i,j]$表示$nums1[0:i]、nums[0:j]$最多不相交的线的数量。

class Solution {
    public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {
        int m = nums1.length;
        int n = nums2.length;

        int[][] D = new int[m][n];
        D[0][0] = nums1[0] == nums2[0] ? 1 : 0;
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            D[i][0] = D[i - 1][0] == 1 || nums1[i] == nums2[0] ? 1 : 0;
        }
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            D[0][j] = D[0][j - 1] == 1 || nums1[0] == nums2[j] ? 1 : 0;
        }

        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                D[i][j] = nums1[i] == nums2[j] ? D[i-1][j-1] + 1 : Math.max(D[i][j - 1], D[i - 1][j]);
            }
        }

        return D[m - 1][n - 1];
    }
}

392 判断子序列

给定字符串 s 和 t ，判断 s 是否为 t 的子序列。

相当于只使用删除操作的编辑距离问题。

和之前问题的不同：只对其中一个串进行操作，利用另一个串的信息(而不进行操作)。

令$D[i,j]$表示字符串$s[0:i]$和字符串$t[0:j]$的以$s[i]$结尾的最大公共子序列长度。
$$D[i,j]=\{\begin{array}{ll}D[i-1][j-1]+1,& \text{if }s[i]=s[j]\\ D[i][j-1],& \text{else }\end{array}$$

class Solution {
    public boolean isSubsequence(String s, String t) {
        if (s.length() == 0) {
            return true;
        }
        if (t.length() == 0) {
            return false;
        }

        char[] src = t.toCharArray();
        char[] target = s.toCharArray();

        int m = target.length;
        int n = src.length;

        // 初始化
        int[][] D = new int[m][n];
        D[0][0] = src[0] == target[0] ? 1 : 0;
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            D[i][0] = target[i] == src[0] ? 1 : 0;
        }
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            D[0][j] = D[0][j - 1] == 1 || target[0] == src[j] ? 1 : 0;
        }

        // 计算
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                D[i][j] = target[i] == src[j] ? D[i - 1][j - 1] + 1 : D[i][j - 1];
            }
        }

        return D[m - 1][n - 1] == target.length;
    }
}

115 不同的子序列

令$D[i,j]$表示字符串$s[0:i]$含有子序列$t[0:j]$的个数。
$$D[i,j]=\{\begin{array}{ll}D[i-1][j-1]+D[i-1][j],& \text{if }s[i]=s[j]\\ D[i-1][j],& \text{else }\end{array}$$

• $s[i]$和$t[j]$相等：
  • $s[0:i-1]$含有子序列$t[0:j-1]$的个数 +
  • $s[0:i-1]$含有子序列$t[0:j]$的个数
• 不相等：
  • $s[0:i-1]$含有子序列$t[0:j]$的个数

class Solution {
    public int numDistinct(String s, String t) {
        char[] src = s.toCharArray();
        char[] target = t.toCharArray();

        int m = src.length;
        int n = target.length;
        int[][] D = new int[m][n];

        D[0][0] = src[0] == target[0] ? 1 : 0;
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            D[i][0] = D[i - 1][0] + (src[i] == target[0] ? 1 : 0);
        }
        // 其实这一段不用初始化的，默认就是0，但还是写一下明确一下
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            D[0][j] = 0;
        }

        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                D[i][j] = src[i] == target[j] ? D[i - 1][j - 1] + D[i - 1][j] : D[i - 1][j];
            }
        }

        return D[m - 1][n - 1];
    }
}

583 两个字符串的删除操作

$D[i,j]$表示将$word1[0:i]$和$word2[0:j]$变为相同串的最小删除步数。
$$D[i,j]=\{\begin{array}{ll}D[i-1][j-1],& \text{if }s[i]=s[j]\\ \min (D[i-1][j],D[i][j-1])+1,& \text{else }\end{array}$$

class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        char[] str1 = word1.toCharArray();
        char[] str2 = word2.toCharArray();

        int m = str1.length;
        int n = str2.length;
        int[][] D = new int[m][n];

        D[0][0] = str1[0] == str2[0] ? 0 : 2;
        // 如果相等，需要删除i个字符，否则删除D[i - 1][0] + 1个字符
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            D[i][0] = str1[i] == str2[0] ? i : D[i - 1][0] + 1;
        }
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            D[0][j] = str1[0] == str2[j] ? j : D[0][j - 1] + 1;
        }

        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                if (str1[i] == str2[j]) {
                    D[i][j] = D[i - 1][j - 1];
                }
                else {
                    D[i][j] = Math.min(D[i - 1][j], D[i][j - 1]) + 1;
                }
            }
        }
        
        return D[m - 1][n - 1];
    }
}

72 编辑距离

$D[i,j]$表示将$word1[0:i]$转换为$word2[0:j]$的最小操作数。

• 删除：

$$D[i,j]=\{\begin{array}{ll}D[i-1][j-1],& \text{if }s[i]=s[j]\\ D[i-1][j]+1,& \text{else }\end{array}$$

• 插入：

$$D[i,j]=\{\begin{array}{ll}D[i-1][j-1],& \text{if }s[i]=s[j]\\ D[i][j-1]+1,& \text{else }\end{array}$$

• 替换：

$$D[i,j]=\{\begin{array}{ll}D[i-1][j-1],& \text{if }s[i]=s[j]\\ D[i-1][j-1]+1,& \text{else }\end{array}$$

所以：
$$D[i,j]=\{\begin{array}{ll}D[i-1][j-1],& \text{if }s[i]=s[j]\\ \min (D[i-1][j],D[i][j-1],D[i-1][j])+1,& \text{else }\end{array}$$
两种写法，一种从空串开始，更推荐这种写法，不易出错：

class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        char[] str1 = word1.toCharArray();
        char[] str2 = word2.toCharArray();

        int m = str1.length;
        int n = str2.length;
        int[][] D = new int[m + 1][n + 1];

        // 二者都是空串
        D[0][0] = 0;
        // 把str1[0:i-1]变为空串
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            D[i][0] = i;
        }
        // 把空串变为str2[0:j-1]
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            D[0][j] = j;
        }

        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                D[i][j] = str1[i - 1] == str2[j - 1] ? D[i - 1][j - 1] : Math.min(Math.min(D[i - 1][j], D[i][j - 1]), D[i - 1][j - 1]) + 1;
            }
        }

        return D[m][n];
    }
}

一种从单个字符开始：

class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        if (word1.length() == 0) {
            return word2.length();
        }
        if (word2.length() == 0) {
            return word1.length();
        }
        
        char[] str1 = word1.toCharArray();
        char[] str2 = word2.toCharArray();

        int m = str1.length;
        int n = str2.length;
        int[][] D = new int[m][n];

        D[0][0] = str1[0] == str2[0] ? 0 : 1;
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            D[i][0] = str1[i] == str2[0] ? i : D[i - 1][0] + 1;
        }
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            D[0][j] = str1[0] == str2[j] ? j : D[0][j - 1] + 1;
        }

        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                D[i][j] = str1[i] == str2[j] ? D[i - 1][j - 1] : Math.min(Math.min(D[i - 1][j], D[i][j - 1]), D[i - 1][j - 1]) + 1;
            }
        }

        return D[m - 1][n - 1];
    }
}