本原多项式和不可约多项式

本文讨论的，不做特别说明的话，都是在伽罗华域(Galois Fields)上。

1、不可约多项式（Irreducible Polynomial）

定义：不能写成两个次数较低的多项式乘积形式的多项式。

多项式分解网站：EE4253 Polynomial GF(2) Factoring Tool (unb.ca)

不可约多项式查询网站：ECE4253 Prime Polynomials (unb.ca) 

2、本原多项式（Primitive Polynomial）

2.1、定义

2.1.1、定义1

一个 m 阶的不可约多项式 f ( x ) ，如果 f ( x )整除的最小正整数 n 满足，则该多项式是本原多项式。

例如，只能被整除，而不能被或整除，所以这个f(x)是本原多项式。

从定义可知，本原多项式一定是不可约多项式。

本原多项式查询网站：本原多项式 (univ-cotedazur.fr)

2.1.2、定义2

若整系数多项式 f(x)的各系数之最大公因子（gcd）是 1，则称 f(x)为一个本原多项式。

引理 1： 若 f 和 g都是本原多项式，则 fg也是本原多项式。很显然，这个引理和定义1中的不可约要求是冲突的。

2.2、性质

如果是本原多项式，则其伴随多项式也一定是本原多项式。

例如，x3+x2+1和x3+x+1都是本原多项式；x7+x3+x2+x+1和x7+x6+x5+x4+1都是本原多项式。

2.3、为什么不是本原多项式？

该f(x)是不可约的，且也能被整除，为什么不是本原多项式呢？

	不可约多项式	本原多项式	说明
1	x x + 1
2
3	x3 +x+1 x 3 + x 2 + 1
4
5
6

本原多项式（高等代数）