离散数学——命题逻辑

命题

注意：有确定的真假含义不等同于已知其真假含义。
例：较大的偶数都可表为两个质数之和。
例：除地球外，别的星球上也存在生物。

原子命题(Primitive proposition)：
由简单陈述句表示的判断。
命题逻辑规定：原子命题是不可再分的。

复合命题(Compound proposition)：
一个或几个简单命题用联结词联结所构成的命题(复合陈述句)。
例：如果天气好，我就去散步。
例：2是偶数而3是奇数。

命题的表示

两个特殊的命题词：
命题常量：
T：永远表示真命题。
F：永远表示假命题。
T和F的两种含义：
命题常量。
命题的真值。

命题联结词

命题和原子命题常可通过一些联结词构成新命题,这种新命题叫复合命题。

否定词：┐(～，Negation)

设P表示命题,那么“P不真”是一个复合命题,记为┐P,叫做P的否定,读做“非P”。如果P是假,则┐P是真,反之亦然。

例子：

• 1.P： 4是质数。   ┐P： 4不是质数。
• 2.Q：这些都是男同学。   ┐Q：这些不都是男同学。

合取词：∧(Conjunction)

如果P和Q是命题,那么“P并且Q”是一个复合命题,记为P∧Q,称为P和Q的合取,读做“P与Q”或“P并且Q”。

析取词：∨(Disjunction)

如果P和Q是命题, 则“P或Q” 是一个复合命题, 记作P∨Q, 称为P和Q的析取, 读做“P或Q”。

注意：大致与自然语言中表示选择的“或”，“或者”类似，但自然语言中的或具有二义性，用“或”联结的命题，有时具有相容性，有时具有排斥性。

条件词：→(条件,Conditional)

如果P和Q是命题,那么“P蕴含Q”是一个复合命题,记为P→Q,称为条件式,读做“如果P,那么Q”或“P则Q”。运算对象P叫做前提,假设或前件,而Q叫做结论或后件。

注意：与自然语言中表示因果的“若… 则 …”、 “如果…则…”、“如果…那么…”、“只要…就…”等类似。

例子：

• 1 P: 天不下雨, Q: 草木枯黄。  P→Q: 如果天不下雨, 那么草木枯黄。
• 2 R: G是正方形, S: G的四边相等。  R→S: 如果G是正方形, 那么G的四边相等。
• 3 W: 桔子是紫色的, V: 大地是不平的。 W→V: 如果桔子是紫色的, 那么大地是不平的。

注意：在自然语言中，条件和结论往往有某种内在联系，并且往往表示若条件成立则结论也成立这样的推理关系，而在数理逻辑中，条件和结论不一定有内在联系，且若条件为假则条件式为真。

蕴含式P→Q可以用多种方式陈述:

1. “若P, 则Q”
2. “P是Q的充分条件”
3. “Q是P的必要条件”
4. “Q每当P” ;
5. “P仅当Q”等。

例子：

• 令：P：天气好。 Q：我去公园。
• 如果天气好，我就去公园。P→Q
• 只要天气好，我就去公园。P→Q
• 天气好，我就去公园。P→Q
• 仅当天气好，我才去公园。Q→P
• 只有天气好，我才去公园。Q→P
• 我去公园，仅当天气好。Q→P

双条件词：↔(等值，Biconditional)

如果P和Q是命题, 那么“P等值于Q”是一个复合命题, 记为P↔Q, 称为双条件式（等值式）, 读做“P当且仅当Q”、“P iff Q”或“P等值于Q”。

P↔Q也读做“P的充要条件是Q”。
有时“除非”也有互为因果的意义。

联结词的注意事项

熟练掌握这五个联结词在自然语言中所表示的含义(但要注意具体语言环境)以及它们的真值表的定义。
特别要注意“或”的二义性，即要区分给定的“或”是“可兼取的或”还是“不可兼取的或”。
特别要注意“→”的用法，它既表示“充分条件”也表示“必要条件”，即要弄清哪个作为前件，哪个作为后件。
联结词的优先级顺序：┐， ∧ , ∨ , → , ↔

命题公式与翻译

命题变元与命题公式

命题公式 wff(命题演算的合式公式,wellformed formula)

定义：
⑴ 单个命题词是个合式公式。
⑵ 若A是合式公式，则(┐A)是合式公式。
⑶ 若A和B是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)和(A↔B)都是合式公式。
⑷ 当且仅当有限次地应用⑴，⑵，⑶所得到的含有命题变元、联结词和圆括号的符号串是合式公式。
此外，称逐次使用规则⑴，⑵，⑶的过程中所得到的命题公式为最后构成的命题公式的子公式。

命题符号化（翻译）

等价公式

真值表

设A(P1,P2,…,Pn) 是一个wff，P1,P2,…,Pn是出现于其中的全部命题变元。如果有一张表列出了在P1,P2,…,Pn 的所有2n种真值指派的每一种下，公式A对应的真值，则称此表为公式A的真值表。

• 按子公式列表
• 按逻辑联结词列表

注：

• 其中P1,P2,…,Pn按字典顺序排列
• 对应公式的每种指派，以二进制数升序或降序列出
• 命题公式不是命题
• 对应的真值指派可记为I=(P1’,P2 ’,…,Pn ’)，其中Pi ’=0或1

等价公式

公式等价的证明

方法1：列真值表
方法2：等价变换
方法3：主范式

公式分类

重言式与矛盾式

重言式的证明方法：、
方法1：列真值表。
方法2：公式的等价变换，化简成”T”。
方法3：用公式的主析取范式。

蕴含式

其他联结词

联结词的扩充

一元联结词的个数：
1.一元联结词是联结一个命题变元的。
2.由一个命题变元P可构成4种不等价的命题公式。
3.相应的可定义出4个不同的一元联结词。

二元联结词的个数：
1.二元联结词联结两个命题变元。
2.由两个命题变元P，Q可构成16种不等价的命题公式。
3.相应的可定义出16个不同的二元联结词。

联结词组

{ ┐, ∨ } 是最小联结词组。
{ ┐, ∧ } 是最小联结词组 。
{ ↑ } 是最小联结词组。
{ ↓ } 是最小联结词组。

对偶与范式

定义1：设有公式A, 其中仅有联结词∧ , ∨ , ┐。在A中将 ∧ , ∨ , T , F分别换以∨ , ∧ , F , T得公式A*,则A*称为A的对偶(公)式。

例 ：A = P∨F ， A*=？
解： A*= P∧T

对偶原理

范式

命题逻辑中，将公式化成主范式可使公式有唯一表示形式。

析取范式

合取范式

析取范式与合取范式的求法

主析取范式和主合取范式

极小项

主析取范式

定义：一个仅由小项的析取组成的公式, 如果与给定的命题公式A等价, 则称它是A的主析取范式。

定理：一个公式A(P1, P2, …, Pn)的真值表中，使A为T的指派所对应的诸小项之析取，即为A的主析取范式。

极大项

主合取范式

定义：一个仅由大项的合取组成的公式, 如果与给定的命题公式A等价, 则称它是A的主合取范式。

定理：在公式A的真值表中，使A为F的指派所对应的诸大项的析取，即为A的主合取范式。

主析取范式和主合取范式的关系

一个命题公式的主析取范式和主合取范式紧密相关。
在它们的简记式中, 代表小项和大项的足标是互补的, 即两者一起构成0, 1, 2, … , 2^n - 1诸数。

主析(合)取范式的应用

(1)求公式的成真/成假赋值：
若公式A中含有n个命题变元，且A的主析取范式含s个小项，则A有s个成真赋值，有2^n - s个成假赋值。（即主析取范式中的小项对应的编码是公式A的成真赋值；反之主合取范式中的大项对应的编码是公式A的成假赋值）。

(2)判断公式的类型：
设公式A中含有n个命题变元，则：

• A为重言式⇔A的主析取范式含全部2^n个小项。
• A为矛盾式⇔A的主析取范式不含任何小项，记A的主析取范式为0。
• A为可满足式⇔A的主析取范式至少含一个小项。
• A为矛盾式⇔A的主合取范式含全部2^n个大项。
• A为重言式⇔A的主合取范式不含任何大项，记A的主合取范式为1 。
• A为可满足式⇔A的主合取范式中大项的个数一定小于2^n 。

(3)判断两个命题是否等价：
设公式A、B中共含有n个命题变元，按n个命题变元求出A、B的主析(合)取范式A’、B’ 。若A’=B’，则A⇔B，否则A、B不等价。

(4)解决实际问题：
例：某科研所有三名青年高级工程师A，B，C。所里要选派他们中的1到2人出国进修，由于所里工作的需要，选派时必须满足以下条件：
①若A去，则C也可以去；
②若B去，则C不能去；
③若C不去，则A或B可以去。
问：所里应如何选派他们？

推理理论

常用的证明方法

真值表法

直接证明法

间接证明法

由证(H1∧H2∧…∧Hk∧R)→C永真而证得(H1∧H2∧Hk)→(R→C)永真的证明方法, 称为附加前提证明法或CP规则。

附录