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标准的ARIMA（移动平均自回归模型）模型允许只根据预测变量的过去值进行预测。该模型假定一个变量的未来的值线性地取决于其过去的值，以及过去（随机）影响的值。ARIMAX模型是ARIMA模型的一个扩展版本。它还包括其他独立（预测）变量。该模型也被称为向量ARIMA或动态回归模型。
ARIMAX模型类似于多变量回归模型，但允许利用回归残差中可能存在的自相关来提高预测的准确性。
本文练习提供了一个进行ARIMAX模型预测的练习。还检查了回归系数的统计学意义。
这些练习使用了冰淇淋消费数据。该数据集包含以下变量。
- 美国的冰淇淋消费（人均）
- 每周的平均家庭收入
- 冰淇淋的价格
- 平均温度。
观测数据的数量为30个。它们对应的是1951年3月18日至1953年7月11日这一时间段内的四周时间。
练习1
加载数据集，并绘制变量cons（冰淇淋消费）、temp（温度）和收入。
ggplot(df, aes(x = X, y = income)) +
ylab("收入") +
xlab("时间") +
grid.arrange(p1, p2, p3, ncol=1, nrow=3)
练习 2
对冰淇淋消费数据估计ARIMA模型。然后将该模型作为输入传给预测函数，得到未来6个时期的预测数据。
auto.arima(cons)
fcast\_cons <- forecast(fit\_cons, h = 6)
练习3
绘制得到的预测图。
练习4
找出拟合的ARIMA模型的平均绝对误差（MASE）。
accuracy
练习5
为消费数据估计一个扩展的ARIMA模型，将温度变量作为一个额外的回归因子（使用auto.arima函数）。然后对未来6个时期进行预测（注意这个预测需要对期望温度进行假设；假设未来6个时期的温度将由以下向量表示：
fcast_temp <- c(70.5, 66, 60.5, 45.5, 36, 28)）绘制获得的预测图。
练习6
输出获得的预测摘要。找出温度变量的系数，它的标准误差，以及预测的MASE。将MASE与初始预测的MASE进行比较。
summary(fca)
温度变量的系数是0.0028
该系数的标准误差为0.0007
平均绝对比例误差为0.7354048，小于初始模型的误差（0.8200619）。
练习7
检查温度变量系数的统计意义。该系数在5%的水平上是否有统计学意义？
test(fit)
练习8
估计ARIMA模型的函数可以输入更多的附加回归因子，但只能以矩阵的形式输入。创建一个有以下几列的矩阵。
温度变量的值。
收入变量的值。
滞后一期的收入变量的值。
滞后两期的收入变量的值。
输出该矩阵。
注意：最后三列可以通过在收入变量值的向量中添加两个NA来创建，并将得到的向量作为嵌入函数的输入（维度参数等于要创建的列数）。
vars <- cbind(temp, income)
print(vars)
练习9
使用获得的矩阵来拟合三个扩展的ARIMA模型，使用以下变量作为额外的回归因子。
温度、收入。
温度、收入的滞后期为0、1。
温度，滞后期为0、1、2的收入。
检查每个模型的摘要，并找到信息准则（AIC）值最低的模型。
注意AIC不能用于比较具有不同阶数的ARIMA模型，因为观察值的数量不同。例如，非差分模型ARIMA（p，0，q）的AIC值不能与差分模型ARIMA（p，1，q）的相应值进行比较。
auto.arima(cons, xreg = var)
print(fit0$aic)
可以使用AIC，因为各模型的参数阶数相同（0）。
AIC值最低的模型是第一个模型。
它的AIC等于-113.3。
练习10
使用上一练习中发现的模型对未来6个时期进行预测，并绘制预测图。预测需要一个未来6个时期的期望温度和收入的矩阵；使用temp变量和以下期望收入值创建矩阵：91, 91, 93, 96, 96, 96。
找出该模型的平均绝对比例误差，并与本练习集中前两个模型的误差进行比较。
带有两个外部回归因子的模型具有最低的 平均绝对比例误差(0.528)
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