图形学知识基础：三维变换，旋转（欧拉角旋转与万向锁，绕任意轴旋转，四元数）

三维变换

与上一篇文章中的二维变换类似，我们可以使用一个 3*3 的矩阵来表示一个三维的线性变换：

并且矩阵  的  ，  和  即为  变化后的值，  ，  和  即为  变化后的值，  ，  和  即为  变化后的值。

仿射变换的公式为：

同样的，我们可以通过引入齐次坐标来表示仿射变换，公式为：

例如缩放s倍的矩阵为：

 

旋转变换

相比其他变换，旋转变换相对的要复杂一些。首先我们要确定我们的坐标系是左手坐标系还是右手坐标系，这会影响到x，y，z三个轴的相对关系，本文我们使用右手坐标系来进行相关的运算。右手坐标系如下图，右手四指弯曲的方向代表x轴到y轴的方向，大拇指方向代表z轴方向。

我们先来看看在三维空间中绕x，y，z三个轴中的某个轴逆时针旋转  角度的矩阵是如何的

• 绕x轴旋转，则可以看作是在yz平面的二维旋转，x轴的(1,0,0)不变，y轴(0,1,0)变为(0,cos,sin)，z轴的(0,0,1)变为(0,-sin,cos)，因此对应的矩阵为：  
• 绕y轴旋转，则可以看作是在xz平面的二维旋转，y轴的(0,1,0)不变，x轴(1,0,0)变为(cos,0,-sin)，z轴的(0,0,1)变为(sin,0,cos)，因此对应的矩阵为：  
• 绕z轴旋转，则可以看作是在xy平面的二维旋转，z轴的(0,0,1)不变，x轴(1,0,0)变为(cos,sin,0)，y轴的(0,1,0)变为(-sin,cos,0)，因此对应的矩阵为：  

 

 的结合使用

两者结合使用

对于如下表达式我们应该如何理解

通过上一篇提到的复合变换，上面式子表达的应该是先绕x轴旋转，然后再绕y轴旋转。假设原先物体的x轴方向为(1,0,0)，y轴方向为(0,1,0)，z轴方向为(0,0,1)，我们先将其绕x轴逆时针旋转  度，即  操作。此时物体自身的y轴(0,1,0)会跟着x轴的旋转变为(0,cos,sin)，记作 。那么我们再做  操作时，旋转的y轴是原先的 y=(0,1,0) 还是 =(0,cos,sin) ？这是两种完全不一样的情况，如下图

垂直向上较长的那根绿线为 y ，而较短的绿线即为 ，我们来看看绕它们旋转的情况分别是怎样的（左图为绕y旋转，右图为绕旋转）

                  

答案是：再做  操作时，旋转的y轴就是原先的 y=(0,1,0)，即上左图的情况。因为  的旋转矩阵是根据 y=(0,1,0)的情况计算出来了，因此使用该矩阵计算时，无论物体属于一个什么角度，计算出来的结果都是根据 y=(0,1,0)这个轴进行逆时针旋转的结果（注：(0,0,0)为物体的中心点）。

我们可以称x轴方向为(1,0,0)，y轴方向为(0,1,0)，z轴方向为(0,0,1)的三个轴为世界坐标轴，它们不根据物体的旋转而改变。而会根据物体自身的坐标轴会根据物体的旋转而改变，例如上诉中的，我们可以称之为模型坐标轴。（自己按照unity常用的说法瞎定义了，懂原理就好。）

因此上诉的两个旋转操作都是按照世界坐标轴来进行的，这种我们称之为外旋，表达式  ，我们可以称之为 x-y外旋 操作。那么内旋就是使用模型坐标轴来做旋转操作咯，那么如果我想要实现先绕x轴旋转 度，在绕旋转后的模型坐标轴的y轴（）旋转  （即 x-y内旋 操作），那么应该怎么计算呢？

首先，第一步是绕x轴旋转，此时物体还没发生旋转，因此模型坐标的x轴等于世界坐标的x轴，因此我们依旧可以使用  矩阵。接着我们要绕 =(0,cos,sin) 旋转，这里我们需要将其进行拆解（类似于上一篇中二维空间绕空间中任意一点旋转那样，拆解成先把任意点移到原点，然后旋转，然后再把改点移回去），先把  绕世界坐标的x轴旋转 度，使其与世界坐标的y轴重叠，然后使用  矩阵进行旋转  角度，最后再绕世界坐标的x轴旋转，是旋转轴回到(0,cos,sin)方向。

因此 x-y内旋操作即为：

1. 绕世界坐标x轴旋转度，对应矩阵
2. 绕世界坐标x轴旋转度，对应矩阵
3. 绕世界坐标y轴旋转度，对应矩阵
4. 绕世界坐标x轴旋转度，对应矩阵

可以发现第一第二步可以抵消，因此x-y内旋操作等价于先绕世界坐标y轴旋转度再绕世界坐标x轴旋转度，即 x-y内旋 等于 y-x外旋。

上诉过程用矩阵来表达的话，我们知道绕世界坐标x轴旋转度即为绕世界坐标x轴旋转度的逆变换，因此其矩阵即为的逆矩阵，为，因此矩阵如下

x-y内旋 =  =  （因为 等于单位矩阵） = y-z外旋

同理也可得出 x-z内旋等于z-x外旋，z-y内旋等于y-z内旋等等。

 

三者结合使用

知道上面这些原理后，我们再进一步，来理解下面表达式

同样的，上面式子可以称之为 x-y-z外旋 操作，即先绕世界坐标的x轴旋转度，然后在绕世界坐标的y轴旋转度，最后绕世界坐标的z轴旋转度。带入可得：

那么它是否和前面一样 x-y-z外旋 等于 z-y-x内旋 呢？答案是肯定的，我们来看下推导。

 z-y-x内旋，重点在于如何把z-y操作后模型坐标x轴移动到世界坐标的x轴上，通过前面我们知道 z-y 内旋等于 y-z 外旋，因此旋转后的模型坐标x轴即执行了 操作，此时的模型坐标x轴，我们标记为。因此若我们要使得变回与世界坐标的x重叠，只需要执行一下相反的操作即可，即把先绕z轴旋转度，然后在绕y轴旋转度，对应矩阵为。

因此z-y-x内旋可以分解为如下几步骤：

1. 先将其分解为 y-z外旋 + x内旋
2. 做y-z外旋，对应矩阵
3. 做y-z外旋的逆操作，是到世界坐标x轴上，对应矩阵
4. 绕世界坐标x轴旋转，对应矩阵
5. 把归位，即再做一次y-z外旋操作，对应矩阵

连起来可得公式为：

z-y-x内旋 =  =  （） = x-y-z外旋

可得结论：所有外旋操作等于与其操作顺序相反的内旋操作。

 

排列组合

我们一共可以得到以下六种排列组合。不同的组合得到值是不一样的，因为  等。

• x-y-z外旋（等价于z-y-x内旋）
• x-z-y外旋（等价于y-z-x内旋）
• y-x-z外旋（等价于z-x-y内旋）
• y-z-x外旋（等价于x-z-y内旋）
• z-x-y外旋（等价于y-x-z内旋）
• z-y-x外旋（等价于x-y-z内旋）

上面的这些旋转方式也就是我们常用的欧拉角旋转。

对于上面这些排列组合，很多会解释为每个轴对应的层级关系，例如x-y-z外旋，转动x后，y和z在之后的计算用的还是世界坐标轴，就好像x的转动和yz没有关系。y和z之间也是一样，转动y后，z还是用世界坐标轴计算，不会因为y的改变而改变。这个就很像所谓的层级关系，即z为最父层，x为最子层，y在中间层，当子层转动的时候，不会影响到父层。反过来也一样，x-y-z外旋等于z-y-x内旋，父层的z转动会影响y和x（内旋用的模型坐标轴）。

欧拉角的维基百科：https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles

 

万向锁（Gimbal Lock）

关于万向锁是什么，看这个视频应该就可以明白了：https://v.youku.com/v_show/id_XNzkyOTIyMTI=.html

简单来说上诉六个组合的操作，只要把中间那个操作的旋转角度设为90度的整数倍，就会触发万向锁。

我们可以从内旋的角度很好理解，以z-y-x的内旋为例子，当我们做第一步操作时，即绕模型坐标的z轴旋转度，无论怎么旋转，z轴都不会改变且等于世界坐标的z轴，但是模型坐标的x，y轴会跟着旋转变换。此时我们再做第二步操作，即绕模型坐标的y轴逆时针旋转  度，当  时，我们会发现此时的x轴会和做第一步操作时的z轴（同时也是世界坐标的z轴）处于同一条直线，方向相反。那么当我们再做第三步操作时，即绕x轴旋转，那就等于在绕世界坐标的z轴旋转，就等同于第一步操作，只不过方向相反。这就是万向锁了，即欧拉角有两个角的旋转都在绕同一个轴在旋转。

 

接着我们来从数学的角度分析一下：假设我们使用x-y-z外旋，对应的矩阵即为  ：

此时我们把的值设为90，可得下面矩阵：

即：

最终得到：

即无论我们的和取何值， 永远等于 。

怎么理解 永远等于 呢？当我们做一次绕世界坐标y轴逆时针旋转90度时，此时(1,0,0)即会变为(0,0,1)，即 等于  （=90的效果）。而永远等于就说明之后的z轴不会发生改变，什么情况下不会改变呢？那就是绕着世界坐标轴的z轴做旋转，即我们修改和的值会发现，只绕着世界坐标轴的z轴在旋转。

 

总结：每个内旋组合，将第二个轴的旋转角度设为90度或其整数倍时，就会触发万向锁，此时无论第一个轴或第三个轴的旋转角度为多少，都是在绕第一个轴所对应的世界坐标轴做旋转，从而失去了一个方向（第三个轴）的旋转能力。

 

绕任意轴旋转

前面我们说提到的是欧拉角旋转，若我们想要计算绕某个轴旋转，应该如何计算呢？

 

绕xy平面上过原点的轴旋转

我们先从简单的来，假如有个轴，它在xy平面上，并且经过原点，那么绕该轴做逆时针旋转应该如何来解？首先因为这个轴在xy平面且经过原点，因此通过绕z轴旋转某个角度（设  度）即可将该轴转到原y轴的方向上，然后绕该轴的逆时针旋转即是原先绕y轴逆时针旋转，旋转完成后再绕z轴旋转 - 度即可。这点和我们前面讲欧拉角旋转时是一样的，使用公式表达即为：

合并得

上诉矩阵即为三维空间中，绕xy平面上过原点的任意轴逆时针旋转  度的矩阵，其中  为该轴与y轴的夹角。

当然了，我们一般会给定的是一个轴(x,y,z)这样，而不是一个轴与某个向量的夹角，那么假设在xy平面上的某个轴为(x,y,0)，那么绕这个轴旋转度的矩阵应该是多少呢？

同样的，我们设(x,y,0)与y轴的夹角为度，那么可得：   与 ，看着很麻烦是不是，那么假设我们的(x,y,0)是单位向量呢？那么，即 ，， 所以我们第一步先把给定的轴的向量转换为单位向量。

接着我们将它们带入到上面的矩阵中可得：

再根据矩阵的加法定则，把 sin ， cos，和常量 来个质壁分离，可得：

再根据矩阵和常数的乘法，我们可以把sin 和 cos 提取出来，可得到：

因为前面说过，转为了单位向量，所以：  和  ，进一步的简化为：

可以发现，上面中间的那个矩阵，和最左边的那个矩阵很相似，其实就是单位矩阵减去左边的那个矩阵：

换下位置可以得到：

单位矩阵我们标记为  ，而  其实就是 向量  和其转置  的积（该例子中，z=0）：

 

结论：若我们要绕xy平面上的某个轴 A=(x,y,0) 旋转度（其中A为单位向量），其公式为：

前面我们是把xy平面的轴转到y上，当然我们也可以转到x上，然后使用x的旋转，得到最终结果是一样的。举一反三也可以计算绕xz平面或yz平面的轴旋转，不过也不用举了，下面我们之间来看绕xyz空间中的轴旋转的公式。

 

绕空间中过原点的轴旋转

前面我们是绕 (x,y,0)旋转，最终我们想要的肯定是绕(x,y,z)的旋转公式，那么绕过原点的一个轴 A=(x,y,z) 旋转  度（其中A为单位向量），其公式应该是什么？

其实原理都是一样的，我们要先把这个轴搞到世界坐标y轴上，然后执行旋转操作，最后把这个轴归位。分如下几步操作：

1. 通过绕世界坐标y轴旋转将该轴转到xy平面上，其中夹角  为该轴在xz平面上的投影(x,0,z)与x轴(1,0,0)的夹角。
2. 通过绕世界坐标z轴旋转将该轴转到y轴上，其中夹角  为该轴(x,y,z)与y轴(0,1,0)的夹角。（因为第一步操作时，我们的旋转轴A与y轴的夹角不会发生变换。对边为）
3. 绕世界坐标y轴旋转  度
4. 2操作的逆操作
5. 1操作的逆操作

可以得到如下公式：

根据三角函数可以得到  ，，，，我们设， （m*n =1），将它们带入上面公式，得到：

进一步得到：

因为m*n =1所有再简化为：

全部相乘可得：

把 sin ， cos，和常量拆分出来分别可得：

---

常量为： 就是我们  的值

---

cos 为：

第一项带入n值得到：，我们来对进行简化，如下：

所以 

第三项带入n值得到：

第五项带入m值得到：

第七项等价于第三项。

最后一项带入n值得到：，和第一项的解法类似，最终得到：

所以简化后的矩阵为：

---

sin 为：

其中由于，提取sin，可得：

---

结论：若我们要绕xy平面上的某个轴 A=(x,y,z) 旋转度（其中A为单位向量），其公式为：

若z=0，就是我们上面在xy平面上的轴旋转，同理y=0就是在xz平面上的轴旋转，x=0就是yz平面上的轴旋转。

 

绕空间中不过原点的轴旋转

前面我们的轴都是规定是过原点的，若我们想要绕不过原点的某个轴旋转，其实一样的思路，先把这个轴使用平移变换移动到原点处，然后做上面的操作，最后把这个轴移回去即可。因为是平移操作，使用矩阵时要使用齐次坐标的矩阵，推导就不多描述了，懂原理就肯定能算出来！

 

旋转矩阵都为正交矩阵

关于正交矩阵的定义可以查看前面矩阵相关的文章。

我们知道旋转矩阵的值即为(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)三个向量旋转后的值，我们假设旋转后的值分别为 ，，，可得旋转矩阵：

根据正交矩阵的定义可得 ，根据  我们可得  的值如下：

让我们来验证下，如下：

因为单位向量旋转后依旧是单位向量，因此 。同时原本互相垂直的三个轴旋转后依旧互相垂直，因此（向量点乘的定义），其他几个位置的值也同理，因此可得结果为单位矩阵，旋转矩阵为正交矩阵没有问题。

这个性质非常重要，因为旋转矩阵是正交矩阵，所以旋转变换的逆变换对应的矩阵即为旋转矩阵的转置，即 。

 

四元数旋转

我们先来说说上诉两种旋转的缺点：

欧拉角旋转：

• 有很多种顺序，不同的顺序结果还不一样
• 万向锁的问题
• 无法实现平滑的插值，例如旋转15度的矩阵和旋转25度的矩阵相加除以2得到的矩阵并不是旋转20度的矩阵。或者说当我们的旋转角度均匀/平滑的增长时对应的旋转矩阵并不是均匀的增长。这些都是因为三角函数是曲线的。
• 计算起来需要三个矩阵，在空间和时间上花费都较大

绕任意轴旋转：

• 计算复杂
• 无法实现平滑的插值

因此又衍生出了一种旋转，即四元数旋转，它最大的优势就是可以实现平滑的插值，以及不会产生万向锁的问题，缺点就是理解起来比较困难。

 

四元数

接下来我们先来了解一下四元数是什么，以及他的一些运算法则。

一个四元数可以表示为 q = w + xi + yj + zk，其中w，x，y，z为实数，i，j，k三者为复数，即 ，因此四元数的实部为w，虚部为xi，yj和zk。

此外三个虚数还有如下关系：ij=k，ji=-k，jk=i，kj=-1，ki=j，ik=-j。这是不是和我们的坐标系叉乘一样（x轴叉乘y轴等于z轴等等）

除了上面的表达式外，四元数还有一种我们更熟悉的写法，为 q = ((x,y,z),w)，其中(x,y,z)代表一个向量，即  或者写成 。

若我们空间中的一个向量(1,2,3)，使用四元数表示即为 0+1i+2j+3k 或者是 ((1,2,3),0)。

因此一个向量看作为一个实部为0的四元数，而一个虚部为0的四元数即为一个实数。

 

四元数的模

类似于向量的模，四元数q的模即为： 

 

四元数的乘法

设我们有两个四元数，分别为  和 ，那么他们相乘的结果为：

 

根据该式子我们也可发现  （不满足交换律）因为  

根据向量点乘，可得 

根据向量叉乘，可得 

根据向量的数量积，可得      

所有全部结合起来可得：

 

四元数的加法

四元数的各部位相加即可，满足交换律和结合律：

 

四元数的点积

类似于向量的点积，如下：

因此也可知： 

 

共轭四元数

四元数q的共轭四元数，常标记为  ，其值为  。共轭四元数即为矩阵的共轭转置。根据四元数的乘法我们可得：

由于  所以 

最终可得：

 

四元数的逆

一个非零四元数q的逆，常标记为  ，其值为：

 

很明显可得： 

 

旋转

了解了四元数以及四元数的运算后，我们来看看怎么用四元数来表示旋转。前面我们说过变换的本质是函数，使用四元数表达也是一样的，即从一个四元数通过一个函数变成一个新的四元数。而这个用于表达旋转的函数即为：

其中p为我们的输入向量对应的四元数， 为旋转后的向量对应的四元数，而 q 的值为  ，xyz为我们旋转轴的值（需要是单位向量，下面有解释）， 为我们的旋转角度。

根据前面所知 ，我们可以求得 ，emmmm，很复杂，但是假如我们的旋转轴是单位向量呢？那么，可得 ，因此  。

 

例如我们的输入向量为(1,0,0)，那么它对应的四元数即为((1,0,0),0)，此时我们想将它绕(0,1,0)旋转90度，就可得到如下公式

通过四元数的乘法，我们来计算一下：

首先因为   带入可得 

然后先求前两项相乘的结果   

将前两项的结果乘以后一项得 

可得旋转后的向量为 (0,0,-1) ，结果正确！

 

备注：相关其他知识待后续补充

 

Unity与旋转

注：虽然是说图形学基础，但是个人学习的目的主要还是更深入理解Unity，因此顺便也记录一些其中与Unity相关的知识点。

 

欧拉角旋转

在Unity中，我们在Inspector界面中设置Transform的Rotation属性，或者在代码里设置 transform.localEulerAngles ，这两种方法都是使用的欧拉角旋转。

此外我们还要注意，Unity使用的是左手坐标系而非前面我们一直所举例用的右手坐标系。

左手坐标系：

前面我们提到欧拉角旋转有6中排列组合，那么Unity使用的是哪种呢？在Transform的Rotate方法中，有如下一段注释：

The implementation of this method applies a rotation of zAngle degrees around the z axis, xAngle degrees around the x axis, and yAngle degrees around the y axis (in that order).

因此我们可以知道，Unity使用的是z-x-y外旋，也就是y-x-z内旋。

如何确定是正确的呢？我们可以创建一个Cube，然后通过按照y-x-z的顺序来调整值，这个是内旋的顺序，即每次旋转都是按照模型坐标来旋转的，因此每次旋转对应的模型旋转轴不会发生改变。如下：

既然是使用欧拉角旋转，那么同样会存着万向锁的问题，因为是z-x-y的顺序，那么我们只需要把x轴旋转90度，就可触发万向锁，如图无论怎么修改y和z，都是在绕模型坐标的x轴或者说是世界坐标的y轴在旋转。

同时我们还要注意，像图中，我们是先设置好x轴的旋转，然后再设置y或者z的旋转，这并不代表unity先旋转了x轴，再旋转其他轴。实际上无论我们怎么先后设置xyz三个轴的旋转值时，Unity始终都是要按照z-x-y的顺序来从初始位置开始旋转。这点也很好理解，因为顺序不一样的话，结果也是不一样的。

 

绕任意轴旋转

Transform中提供了Rotate和RotateAround两种方法用于绕任意轴旋转。

Rotate

有如下三个参数，第一个参数为旋转轴的向量，第二个参数为旋转角度，第三个参数决定旋转轴的起点（默认为Space.Self即起点为物体的中心点，否则为世界坐标的原点）。

public void Rotate(Vector3 axis, float angle, [DefaultValue("Space.Self")] Space relativeTo)
{
  if (relativeTo == Space.Self)
    this.RotateAroundInternal(this.transform.TransformDirection(axis), angle * ((float) Math.PI / 180f));
  else
    this.RotateAroundInternal(axis, angle * ((float) Math.PI / 180f));
}

例如我们想绕过物体中心点的方向为(1,1,1)的轴旋转，使用下面方法即可

transform.Rotate(new Vector3(1, 1, 1), Time.deltaTime * 30);

效果如下：

 

RotateAround

若想自定义旋转轴的起点，则使用RotateAround方法即可

public void RotateAround(Vector3 point, Vector3 axis, float angle)

第一个参数即为旋转轴的起点，需要注意的是该起点的值为世界坐标的值，而不是相对于物体中心的偏移量。

若想绕起点在世界坐标(1,0,0)的向量(1,1,1)旋转，则代码为：

transform.RotateAround(new Vector3(1,0,0), new Vector3(1, 1, 1), Time.deltaTime * 30);

效果图如下（物体中心在世界坐标(0,0,0)上）：