中国剩余定理

中国剩余定理

孙子定理，又称之为中国剩余定理$（ChineseRemainderTheorem,CRT）$可以求解如下形式的一元线性同余方程组（其中$n_1,n_2,\dots ,n_k$两两互质）。

$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(mod{n}_1)\\ x\equiv a_2(mod{n}_2)\\ ⋮\\ x\equiv a_k(mod{n}_k)\end{array}$

中国剩余定理说明：假设整数$m_1,m_2,\dots ,m_n$两两互质，则对任意的整数：$a_1,a_2,\dots ,a_n$，方程组有解，并且我们可以用如下方式构造得到：

设$M=m_1\times m_2\times \cdots \times m_n={\prod }_{i=1}^n{m}_i$是整数$m_1,m_2,\dots ,m_n$的乘积，并设$M_i=\frac{M}{m_i},\forall i\in \{1,2,3,\dots ,n\}$是除了$m_i$以外的$n-1$个整数的乘积。设$t_i$是$M_i$模$m_i$下的逆元，则方程组的通解形式为：$x=a_1{t}_1{M}_1+a_2{t}_2{M}_2+\cdots +a_n{t}_n{M}_n+kM=kM+{\sum }_{i=1}^n{a}_i{t}_i{M}_i,k\in \mathrm{Z}$。所以在模$M$的意义下，方程组的只有一个解：$x=({\sum }_{i=1}^n{a}_i{t}_i{M}_i)(modM)$。

算法流程：

1. 计算所有模数的积$n$；(有的上面说计算它们的最小公倍数，其实都一样它们两两互质)
2. 对于第$i$个方程：
   1. 计算$m_i=\frac{n}{n_i}$;
   2. 计算$m_i$在模$n_i$意义下的逆元$m_i^{-1}$；
   3. 计算$C_i=m_i\times m_i^{-1}$（不要对$n_i$取模）；
3. 方程组的唯一解为：$a={\sum }_{i=1}^k{a}_i\times c_i(modn)$。

下面我们来通过一道题，加深对孙子定理的运用

猜数字

现有两组数字，每组$k$个，第一组中的数字分别用$a_1,a_2,\dots ,a_k$表示，第二组中的数字分别用$b_1,b_2,\dots ,b_k$表示。其中第二组的数字是两两互素的。求最小的$n\in \mathrm{N}$，满足对于$\forall i\in [i,k]$，有$b_i|(n-a_i)$。
输入格式
第一行一个整数$k$。
第二行$k$个整数，表示：$a_1,a_2,\dots ,a_k$。
第三行$k$个整数，表示：$b_1,b_2,\dots ,b_k$。
输出格式
输出一行一个整数，为所求的答案$n$。$1\le k\le 10，\mid a_i\mid \le 10^9，1\le b_i\le 6\times 10^3{\prod }_{i=1}^k{b}_i\le 10^{18}$。

这是孙子定理的典型运用，同样也是一道模板题，在这我我们观察到数据的范围很大，所以在计算的最后一步我们不能直接使用乘法运算，而是使用快速乘。

#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
#define endl '\n'
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
#define _for(i, a, b) for (int i=(a); i<=(b); i++)
const int INF = 0x7fffffff;
const int MAXN = 1e5 + 10;

ll m[MAXN], a[MAXN], n;

void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){
	if(b == 0){
		x = 1;
		y = 0;
		return ;
	}
	exgcd(b,a%b,x,y);
	ll temp = x;
	x = y;
	y = temp - a / b * y;
	return ;
}

ll qmul(ll n, ll a, ll mod){
	ll res = 0;
	a = a % mod;
	while(n){
		if(n & 1) res = (res + a) % mod;
		n >>= 1;
		a = (a + a) % mod;
	}
	return res % mod;
}

ll CHT(){
	ll res = 0, M = 1;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		M *= m[i];
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		ll x, y;
		ll Mi = M / m[i];
		exgcd(Mi,m[i],x,y);
		x = (x % m[i] + m[i]) % m[i];//防止x为负数
		res = (res + qmul(qmul(Mi,x,M),a[i],M)) % M;//使用快速乘不然有的会爆long long
	}
	if(res < 0) res += M;
	return res;
}

int main(){
	cin >> n;
	for(ll i = 1; i <= n; i++){
		cin >> a[i];
	}
	for(int i= 1; i <= n; i++){
		cin >> m[i];
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		a[i] = (a[i] % m[i] + m[i]) % m[i];
	}
	cout << CHT();
	return 0;
}