欧拉定理

欧拉定理

在学习欧拉定理之前，请先了解欧拉函数。定理：若$gcd(a,m)=1$，则$a^{\phi (m)}\equiv 1(modm)$。

证明

欧拉定理的证明还是很简单的，我们只需要构造一个与$m$互质的数列，再进行操作。

设$k_1,k_2,\dots ,k_{\phi (m)}$为模$m$意义下的简化剩余系，则$a\times k_1,a\times k_2,\dots ,a\times k_{\phi (m)}$也为模$m$意义下的一个简化剩余系。所以$k_1\times k_2\times \cdots \times k_{\phi (m)}\equiv a\times k_1\times a\times k_2\times \cdots \times a\times k_{\phi (m)}=a^{\phi (m)}\times k_1\times k_2\times \cdots \times k_{\phi (m)}(modm)$，可以约去$k_1\times k_2\times \cdots \times k_{\phi (m)}$，即为$a^{\phi (m)}\equiv 1(modm)$。证毕。

欧拉定理的一些推论

1. $$a^b=\{\begin{array}{l}{a}^{bmod\phi (p)},gcd(a,p)=1\\ a^b,gcd(a,p)\ne 1,b<\phi (p)(modp)\\ a^{bmod\phi (p)+\phi (p)},gcd(a,p)\ne 1,b\ge \phi (p)\end{array}$$

2. $\forall n>1,1$到$n$中所有互质的数的和为$n\times \frac{\phi (n)}{2}$。

3. 很多人都喜欢称之为欧拉反演。对于任意正整数$n$，有${\sum }_{d|n}\phi (d)=n$.