维纳滤波的线性预测

1.维纳滤波线性预测概念

线性预测(LP)

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{rl}& u(n)=\left[\begin{array}{cccc}u(n-1)& u(n-2)& \cdots & u(n-M)\end{array}\right]\\ & d(n)=u(n)\end{array}\end{array}$$

前后向线性预测(FBLP)

$$\begin{array}{rl}& (1)前向线性预测(FLP)\\ & \{\begin{array}{rl}& u(n)=\left[\begin{array}{cccc}u(n-1)& u(n-2)& \cdots & u(n-M)\end{array}\right]\\ & d(n)=u(n)\end{array}\\ & (2)后向线性预测(BLP)\\ & \{\begin{array}{rl}& u(n)=\left[\begin{array}{cccc}u(n-M+1)& u(n-M+2)& \cdots & u(n)\end{array}\right]\\ & d(n)=u(n-M)\end{array}\end{array}$$

2.线性预测与AR模型

线性预测与AR模型互为逆系统(本质是线性预测误差作为输出时与AR模型互为逆系统)

(1)输入输出关系

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{rl}& v(n)=u(n)-w_o^{H}u(n)(v(n)=e(n)=u(n)-\hat{d}(n))\\ & u(n)=-\sum _{k=1}^M{a}_{k}u(n-k)+v(n)\end{array}\end{array}$$

(2)系统函数关系

$$\begin{array}{rl}& H_{LP}(z)H_{AR}(z)=1\\ & \{\begin{array}{rl}& H_{LP}(z)=1+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-1}+\cdots +a_M{z}^{-M}\\ & H_{AR}(z)=\frac{1}{1+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-1}+\cdots +a_M{z}^{-M}}\end{array}\end{array}$$

(3)滤波器权向量与模型参数关系

$$a_i=-w_{i-1}^{\ast }$$

线性滤波器是白化滤波器

若线性滤波器输入时AR(M)过程,则其输出为均值为零,方差为$J_{min}={\sigma }_v^2$的白噪声
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3.前后向线性预测

(1)前向预测(FLP))和后向预测(BLP)合并使用，且其滤波器权重满足$w_{fo}=w_{bo}$

(2)前后向线性预测可由格型滤波器实现，需要确定预测误差$e_m^f(n),e_m^b(n)$以及反射系数${\kappa }_m$

(3)Burg算法

a.计算预测误差$e_m^f(n),e_m^b(n)$以及反射系数${\kappa }_m$
b.计算$LP(M)$
c.计算$AR(M)$
d.计算AR功率谱估计结果