深度学习入门笔记1--梯度下降之--为什么是负方向--为什么局部下降最快的是负梯度方向

本节目标理解梯度下降的原理，主要围绕以下几个问题展开：

1. 梯度下降法的用途？
2. 什么是梯度？
3. 为什么是负的梯度
4. 为什么局部下降最快的方向就是梯度的负方向。

需要的知识储备：一级泰勒展开公式

向量内积计算公式

1. 梯度下降算法

无论是在线性回归（Linear Regression）、逻辑回归（Logistic Regression）还是神经网络（Neural Network）等等，都会用到梯度下降算法。梯度下降算法主要用于辅助更新模型参数，使得损失函数最小化。
损失函数为凸函数，目标找到能使函数值最小的参数。我们将该过程类比做下山。 走一步算一步，也就是每次沿着当前位置最陡峭最易下山的方向前进一小步，然后继续沿下一个位置最陡方向前进一小步。这样一步一步走下去，一直走到觉得我们已经到了山脚。这里的下山最陡的方向就是梯度的负方向。
梯度下降算法的公式为：

其中，η为学习因子，即下山每次前进的一小步的长度；θ0 为自变量，即下山位置的坐标，θ为更新后的位置。

沿着负梯度方向更新是结论，那么，为什么是梯度，为什么是负方向呢。

2. 什么是梯度

通俗来说，梯度就是表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在当前位置的导数。

上式中，θ是自变量，f是关于θ的函数。

3. 为什么是负梯度方向 （类比角度，理解为什么是负）

从直观角度理解想象下：
假设中间是山谷，两边都是山。 当在左边的山上要下坡时，梯度为负，x需要往山谷靠近，即x要有右移，增大，则应该是+负梯度;同理分析当在山谷右边要移动到山谷时的情景。

4. 为什么是负梯度方向（数学角度）

一级泰勒展开式

梯度下降数学原理

先写出一阶泰勒展开式的表达式：

其中，是η矢量，它的大小就是我们之前讲的步进长度，类比于下山过程中每次前进的一小步，v为标量，而的单位向量用表示。则可表示为：

特别需要注意的是，不能太大，因为太大的话，线性近似就不够准确，一阶泰勒近似也不成立了。替换之后，的表达式为：

重点来了，局部下降的目的是希望每次更新，都能让函数值变小。也就是说，上式中，我们希望。则有：

因为为标量，且一般设定为正值，所以可以忽略，不等式变成了：
上面这个不等式非常重要！v和Δf都是向量，是当前位置的梯度方向，表示下一步前进的单位向量，是需要我们求解的，有了它，就能根据确定值了。
想要两个向量的乘积小于零，根据向量积公式：

则，当与互为反向，即为当前梯度方向的负方向的时候，能让最大程度地小，也就保证了的方向是局部下降最快的方向。

知道是的反方向后，可直接得到：

之所以要除以的模，是因为是单位向量。

求出最优解之后，带入到中，得：
一般地，因为是标量，可以并入到步进因子中，即简化为：

这样，我们就推导得到了梯度下降算法中的更新表达式。