【高等数学】伯努利方程及其求解方法

一、伯努利方程的形式

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n（注意这个n是指n次方而非n阶导）$$

观察发现：

• 一阶方程（导数的次数最高为1次）
• 当n=0，线性非齐次方程
• 当n=1，线性齐次方程

一般的非线性方程是很难求解的，上述形式的方程可以通过转换为线性非齐次方程求解。

二、求解步骤

求解思路：化陌生为熟悉，通过换元将非线性方程转换成线性方程。

1. 先将yⁿ拿到左边，得到：$y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)$

2. 注意到：$\frac{d{y}^{1-n}}{dx}=\frac{d{y}^{1-n}}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$

3. 因此，我们将y^-n收进去，得到：$\frac{1}{1-n}\frac{d{y}^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)$

4. 令$z=y^{1-n}$，得到：$\frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$

5. 发现此时面对的就是一阶线性非齐次常微分方程，带入通解公式即可求得$z=z(x)=y^{1-n}$

6. 解得：$y=\sqrt[1-n]{z(x)}$