【双曲几何学 02】什么是极点和极线？
一、说明
Pole and polar 对于几何学，是普遍的概念。可能高中就学过，问题是在双曲几何又用到这个概念，因此，这里再次强调理解这个概念 。为后边学习双曲几何扫清障碍。
二、基本概念
在几何学中，极点和极线分别是相对于给定圆锥截面具有唯一倒数关系的点和线。
给定圆中的极点往复运动是将平面中的每个点转换为它的极线，并将平面中的每条线转换为它的极点。总之，极点和极线是一对二元关系。总是伴随出现的。
2.1 极点的定义
不在二次曲线上的一点P作直线l交二次曲线于M、N两点，则在L上有且只有一点Q，使得(PQ，MN)=-1（即P、Q、M、N构成一调和点列）。当l绕着P旋转时，Q的轨迹是一条直线p（或一部分），这条直线p叫做点P关于二次曲线的极线，而P叫做p关于该曲线的极点。
- 如何理解 P、Q、M、N构成一调和点列？ 等价说法：
PM * QN = MQ * PN （牢记这个顺序）- 从P做射影点，扫过椭圆后，形成一系列的Q1，Q2，Q3... 这些点轨迹构成直线段。这就是极线。
2.2 一般圆锥曲线的极点与极线方程
对于任意圆锥曲线(圆，椭圆，抛物线，双曲线)
三、圆的极点和极点
3.1 P在圆外
令 P 为圆内或圆外的任意一点。画任何通过 P 的弦 AB 和 CD。如果圆的过P切线的切点S-S‘在 A 和 B 处相交于 Q，则 Q 的轨迹称为 P 相对于圆的极线，P 称为极点，如果切点连线SS‘交圆在C和D处相交于Q'，则直线QQ'就是以P为极点的极线。
其中不变的性质是：AQ*BP=QB*AP；或CQ’*DP=Q'D*CP
3.2 极点P在园内
如果P是极点，并且在单位圆内：不失一般性，将P放置在AB直径上，在P原地旋转后，滑动的时候
其中不变的性质是：AQ*BP=QB*AP；或CQ’*DP=Q'D*CP；通过这个性质，可以求出极线的位置：设 P( 0,s )；BQ = x
AQ = 2 + x ; BQ = x ; BP = 1-s ; AP = 1+s
所以：（2+x）*（1-s）= x*（1+s）
最后得出：x = (1-s)/s
极线QQ‘坐标为：（1+x，t）或（1/s,t); t是参数；
四、椭圆的极点和极点
4.1 P是椭圆外的极点
设极点P在椭圆C外侧：P对应的极线方程与 椭圆C' 的两个交点实际上是从点P 向椭圆 C引出的两条切线的切点之连线。
同样有性质：CQ *DP=QD*CP
4.2 极点在椭圆内部
性质1.内接四边形
设四边形ABCD内接于二次曲线C，则对角线交点P的极线是两组对边交点的连线。
在证明之前，我们先来证明一个引理.
引理：在完全四边形ABCDMN中，(C,E,A,M),(D,F,B,M)均为调和点列。（关于调和点列的定义，在上文极线的定义中有说明）
证明：对于 
及塞瓦点P运用塞瓦定理有 
对于 及截线MBD运用梅氏定理有： 
联立以上两式知
即 
∴ (C,E,A,M)为调和点列，类似可证明(D,F,B,M)为调和点列。
回到原命题
证明：由完全四边形的调和性质可知(C,E,A,M),(D,F,B,M)调和，
由极线的几何定义知点E在点M关于曲线C的极线上、点F在点M关于曲线C的极线上
由两点确定一条直线知，直线EF即为点M的极线，∴点P在点M的极线上
由配极原则知，点M在点P的极线上，同理可知，点N在点P的极线上
∴直线MN即为点P的极线，原命题成立。
五、双曲的极点和极线
5.1 极点在双曲外侧
同样用【4.2 极点在椭圆内部】定理进行证明
5.2 极点在双曲内侧
则过极点 P 作双曲线 C的两条切线，切点正好为 A，B ,极线方程为
即为切点弦AB的直线方程。
六、极点和极线性质
6.1 性质如下
Pole 和 polar 有几个有用的属性：
- 如果点极点 P 位于直线 l 上，则直线 l 的极点 L 位于点 P 的极线 p 上。
- 如果极点 P 沿直线 l 移动，则其极点 p 绕直线 l 的极点 L 旋转。
- 如果可以从极点到圆锥曲线绘制两条切线，则其极线通过两个切点。
- 如果一点位于圆锥截面上，则其极坐标是通过该点到圆锥截面的切线。
- 如果点 P 位于它自己的极线上，则 P 在圆锥曲线上。
- 相对于非退化圆锥截面，每条线恰好有一个极点。
- 任意两点 P 和 Q 到圆心的距离与彼此到另一极的距离成正比。
6.2 推论
性质1.配极原则推论
两点连线的极点是这两点的极线的交点；两直线交点的极线是这两直线的极点的连线。
证明：设有两点A、B，各自的极线交于C，则根据配极原则，C在A的极线上⇒A在C的极线上。同理，B在C的极线上。由两点确定一条直线可知AB是C的极线，即C是AB的极点。类似可证后者。
从这个性质中可以知道，对于二次曲线上两个点，过这两点的切线的交点的极线即这两点的连线。