MATLAB 之 符号微积分计算

一、符号微积分

• 微积分的数值计算方法只能求出以数值表示的近似解，而无法得到以函数形式表示的解析解。
• 在 MATLAB 中，可以通过符号运算获得微积分的解析解。

1. 符号极限

• MATLAB 中求函数极限的函数是 limit，可用来求函数在指定点的极限值和左右极限值。
• 对于极限值为没有定义的极限，MATLAB 给出的结果为 NaN，极限值为无穷大时，MATLAB 给出的结果为 Inf。limit 函数的调用格式如下。
• （1） limit(f,x,a)：求符号函数 $f(x)$ 的极限值 $$\underset{x\to a}{\lim }f(x)$$
• 即计算当变量 $x$ 趋近于常数 $a$ 时，$f(x)$ 函数的极限值。
• （2） limit(f,a)：求符号函数 $f(x)$ 的极限值。由于没有指定符号函数 $f(x)$的自变量，则使用该格式时，符号函数 $f(x)$ 的变量为函数 symvar(f) 确定的默认自变量，即变量 $x$ 趋近于 $\infty$。
• （3） limit(f)：求符号函数 $f(x)$ 的极限值。符号函数 $f(x)$ 的变量为函数 symvar(f) 确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于 0，即 $a=0$ 的情况。
• （4） limit(f,x,a,'right')：求符号函数 $f(x)$ 的极限值 $$\underset{x\to a^{+}}{\lim }$$
• ‘right’ 表示变量 $x$ 从右边趋近于 $a$。
• （5） limit(f;x,a,'lef')：求符号函数 $f(x)$ 的极限值 $$\underset{x\to a^{-}}{\lim }$$
• ‘left’ 表示变量 $x$ 从左边趋近于 $a$。
• 例如，我们求下列极限。
• （1）$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\sqrt[m]{x}-\sqrt[m]{a}}{x-a}$$
• （2）$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (a+x)-sin(a-x)}{x}$$
• （3）$$\underset{x\to +\infty }{\lim }x(\sqrt{x^2+1}-x)$$
• （4）$$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}+\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}}$$
• 程序如下：

>> syms a m x;
>> f=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a);
>> limit(f,x,a)  			%求极限（1）
 
ans =
 
a^(1/m - 1)/m
 
>> f=(sin(a+x)-sin(a-x))/x;
>> limit(f)					%求极限（2）
 
ans =
 
2*cos(a)
 
>> f=x*(sqrt(x^2+1)-x);
>> limit(f,x,inf,'left')	%求极限（3）
 
ans =
 
1/2
 
>> f=(sqrt(x)-sqrt(a)+sqrt(x-a))/sqrt(x^{2}-a^{2});
>> limit(f,x,a,'right')		%求极限（4）
 
ans =
 
1/(2*a)^(1/2)
 

2. 符号导数

• diff 函数用于对符号表达式求导数，其调用格式如下。
• （1） diff(s)：没有指定变量和导数阶数，则系统按 symvar 函数指示的默认变量对符号表达式 $s$ 求一阶导数。
• （2） diff(s,'v')：以 $v$ 为自变量，对符号表达式 $s$ 求一阶导数。
• （3） diff(s,n)：按 symvar 函数指示的默认变量对符号表达式 $s$ 求 $n$ 阶导数，$n$ 为正整数。
• （4） dif(s,'v',n)：以 $v$ 为自变量，对符号表达式 $s$ 求 $n$ 阶导数。
• 例如，我们求下列函数的导数。
• （1）$y=\sqrt{1+e^x}$，求 $y^{\prime }$。
• （2）$y=x\cos x$，求 $y^{\prime \prime }$、$y^{\prime \prime \prime }$。
• （3）$\{\begin{array}{c}x=a\cos t\\ y=b\sin t\end{array}$，求 $y_x^{\prime }$、$y_y^{\prime }$。
• （4）$z=\frac{x{e}^y}{y^2}$，求 $z_x^{\prime }$、$z_y^{\prime }$。
• （5）$z=f(x,y)$ 由方程 $x^2+y^2+z^2=a^2定义，$求 $z_x^{\prime }$、$z_y^{\prime }$。
• 程序如下：

>> syms a b t x y z;
>> f=sqrt(1+exp(x));
>> diff(f)					%求（1）。未指定求导变量和阶数。按默认规则处理
 
ans =
 
exp(x)/(2*(exp(x) + 1)^(1/2))
 
>> f=x*cos(x);
>> diff(f,x,2)				%求（2）。求f对x的二阶导数
 
ans =
 
- 2*sin(x) - x*cos(x)
 
>> diff(f,x,3)				%求（2）。求f对x的三阶导数
 
ans =
 
x*sin(x) - 3*cos(x)
 
>> f1=a*cos(t);
>> f2=b*sin(t);
>> diff(f2)/diff(f1)		%求（3）。按照参数方程求导公式求y对x的导数
 
ans =
 
-(b*cos(t))/(a*sin(t))
 
>> (diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2))/(diff(f1))^3		%求（3）。按照参数方程求导公式求y对x的二阶导数
 
ans =
 
-(a*b*cos(t)^2 + a*b*sin(t)^2)/(a^3*sin(t)^3)
 
>> f=x*exp(y)*y^2;
>> diff(f,x)				%求（4）。求z对x的偏导数
 
ans =
 
y^2*exp(y)
 
>> diff(f,y)				%求（4）。求z对y的偏导数
 
ans =
 
2*x*y*exp(y) + x*y^2*exp(y)
 
>> f=x^2+y^2+z^2-a^2;
>> zx=-diff(f,x)/diff(f,z)		%求（5）。
 
zx =
 
-x/z
 
>> zy=-diff(f,y)/diff(f,z)		%求（5）。
 
zy =
 
-y/z
 

• 第 5 小题是一个隐函数 $f(x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n)$ 自变量求偏导数的例子，可以通过以下公式求得：$$\frac{\partial x_i}{\partial x_j}=-\frac{\frac{\partial }{\partial x_j}f(x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n)}{\frac{\partial }{\partial x_i}f(x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n)}$$
• 例如，我们求在曲线 $y=x^3+3x-2$ 上哪一点的切线与直线 $y=4x-1$ 平行。
• 依题意，就是求曲线在哪一点的导数值为 4。程序如下：

>> x=sym('x');
>> y=x^3+3*x-2;		%定义曲线函数
>> f=diff(y);		%对曲线求导数
>> g=f-4;
>> solve(g)			%求方程f-4=0的根
 
ans =
 
-3^(1/2)/3
 3^(1/2)/3
 

• 结果表明，在 $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 和 $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ 处的切线和指定直线平行。

3. 符号积分

• 不管被积函数的形式如何，复杂程度怎样，采用数值积分法总可以求得以恶搞结果，尽管这种结果大部分情况下是近似的，但数值方法不能获得解析解，符号积分方法可以获得积分的解析结果。

3.1 符号函数的不定积分

• 在 MATLAB 中，int 函数用于求符号函数的不定积分，有以下两种调用格式。
• （1） int(f)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按 symvar 函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式f求不定积分。
• （2） int(f,v)：以 $v$ 为自变量，对被积函数或符号表达式 $f$ 求不定积分。
• 例如，我们求下列不定积分。
• （1）$\int (3-x^2{)}^3\mathrm{d}x$。
• （2）$\int {\sin }^{2}x\mathrm{d}x$。
• （3）$\int e^{\alpha t}\mathrm{d}x$。
• （4）$\int \frac{5xt}{1+x^2}\mathrm{d}x$。
• 程序如下：

>> x=sym('x');
>> f=(3-x^2)^3;
>> int(f)		%求（1）
 
ans =
 
- x^7/7 + (9*x^5)/5 - 9*x^3 + 27*x
 
>> f=sin(x)^2;
>> int(f)		%求（2）
 
ans =
 
x/2 - sin(2*x)/4
 
>> syms alpha t;
>> f=exp(alpha*t);
>> int(f)		%求（3）
 
ans =
 
exp(alpha*t)/alpha
 
>> f=5*x*t/(1+x^2);
>> int(f,t)		%求（4）
 
ans =
 
(5*t^2*x)/(2*(x^2 + 1))
 

3.2 符号函数的定积分

• 在 MATLAB 中，求符号函数的定积分也是使用 int 函数，其调用格式如下：

	int(f,v,a,b)

• 其中，$a、b$ 分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分。$a$ 和 $b$ 可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷（inf）。
• 当函数 $f$ 关于变量 $x$ 在闭区间 $[a,b]$ 上可积时，函数返回一个定积分结果。
• 当 $a、b$ 中有一个是 inf 时，函数返回一个广义积分。
• 当 $a、b$ 中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。
• 例如，我们求下列定积分。
• （1）${\int }_1^2\left|1-x\right|\mathrm{d}x$。
• （2）${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$。
• （3）${\int }_2^3\frac{x^3}{(x-1{)}^{10}}\mathrm{d}x$。
• （4）${\int }_2^{\sin x}\frac{4x}{t}\mathrm{d}t$。
• 程序如下：

>> x=sym('x');
>> t=sym('t');
>> int(abs(1-x),1,2)		%求（1）
 
ans =
 
1/2
 
>> f=1/(1+x^2);
>> int(f,-inf,+inf)			%求（2）
 
ans =
 
pi
 
>> f=x^3/(x-1)^{10};
>> I=int(f,2,3)				%求（3）
 
I =
 
138535/129024
 
>> double(I)				%将上述符号结果转换为数值

ans =

    1.0737

>> int(4*x/t,t,2,sin(x))	%求（4）
 
ans =
 
4*x*(log(sin(x)) - log(2))