从酒桌游戏看二分查找算法

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观感度：

口味：孜然牛肉

烹饪时间：5min

酒桌上曾经玩过这样一个小游戏，游戏规则是：主持人每次随机从 1-1000 中选择一个数字，比如是 171。只有主持人自己知道并事先写在纸条上留存，然后分别让大家来猜，能够用最少次数猜到的人获胜并拥有指定一个人罚酒的权利。

• 童欧巴：500
• 主持人：大了
• 童欧巴：250
• 主持人：大了
• 童欧巴：125
• 主持人：小了
• 童欧巴：187
• 主持人：大了
• 童欧巴：156
• 主持人：小了
• 童欧巴：171

主持人再次挑选数字，让扒蒜小妹去猜…

最后，童欧巴用的次数最少，童欧巴获胜！指定扒蒜小妹罚酒。

这个游戏就是看谁能使用最少的次数猜到主持人选的数字，谁就获胜。这种在有序数据集合中的查找用二分查找再合适不过了。

二分查找 Binary Search

二分查找，顾名思义。(看上文欧巴熟练的灌酒操作也可以知道)每次的查找都是和区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为一半，直到找到目标元素，或者区间被缩小为 0 (没找到)。二分查找的时间复杂度是 O(logn)。对比常量级时间复杂度，当常量很大时 O(999999)，就会比 O(1) 的算法要高效。

二分算法虽然高效，但也存在一定的局限性。想要使二分查找发挥威力，需要满足几个前置条件才行。

• 有序(单调递增/递减)
• 数组(能够通过索引访问)
• 数据量不能太大(数组内存空间连续，对内存要求严格)也不能太小(遍历即可)

LeetCode 真题

33. 搜索旋转排序数组

假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转。

( 例如，数组 [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] )。

搜索一个给定的目标值，如果数组中存在这个目标值，则返回它的索引，否则返回 -1 。

你可以假设数组中不存在重复的元素。

你的算法时间复杂度必须是 O(log n) 级别。

示例 1:

输入: nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0
输出: 4

示例 2:

输入: nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 3
输出: -1

关键点

进行旋转后的数组一定有一部分是有序的。而且，题目要求时间复杂度为 O(logn)，暗示我们使用二分搜索。

如上图中的两种情况，观察旋转后的数组：

• nums[mid] >= nums[start] 时，mid 在左边且左边有序 5 >= 2
• nums[mid] < nums[start] 时，mid 在右边且右边有序 2 < 6

接着我们来判断 target 在哪一个部分，舍弃另一部分即可。如上图的第二种情况，我们假设 target 是 黑色的 3。mid 在右边也就是 [mid, end]，target > nums[mid] && target <= nums[end]，所以舍弃左边，start = mid + 1。

const search = function(nums, target) {
    let start = 0;
    let end = nums.length - 1;
    
    while (start <= end) {
        const mid = start + ((end - start) >> 1);
        if (nums[mid] === target) {
            return mid;
        }
        // 左侧有序
        if (nums[mid] >= nums[start]) {
            // target 在 [start, mid] 之间
            if (target >= nums[start] && target < nums[mid]) {
                end = mid - 1;
            } else {
                start = mid + 1;
            }
        } else { // 右侧有序
            // target 在 [mid, end] 之间
            if (target > nums[mid] && target <= nums[end]) {
                start = mid + 1;
            } else {
                end = mid - 1;
            }
        }
    }
    return -1;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(logn)
• 空间复杂度：O(1) 只需要常量级别的空间存放变量

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