常用连续型随机变量的概率分布表(附概率密度函数全域积分等于1、期望、方差的推导与证明)

常用离散型随机变量的内容在这里(CSDN对文章长度设了限制,我只能分成两篇博客来发布)。

常用连续型随机变量的概率分布速查表

随机变量 记号 概率密度函数 分布函数 期望 方差
均匀分布 X ∼ U [ a , b ] X\sim U[a,b] XU[a,b] p ( x ) = { 1 b − a , a < x < b 0 , o t h e r w i s e p(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{b-a}, & ap(x)={ba1,0,a<x<botherwise F ( x ) = { 0 , x < a x − a b − a , a ⩽ x < b 1 , x ⩾ b F(x)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & xF(x)=0,baxa,1,x<aax<bxb a + b 2 \frac{a+b}{2} 2a+b ( b − a ) 2 12 \frac{(b-a)^2}{12} 12(ba)2
指数分布 X ∼ E ( λ ) X\sim E(\lambda) XE(λ) p ( x ) = { λ e − λ x , x ⩾ 0 0 , x < 0 p(x)=\left\{\begin{array}{cc} \lambda e^{-\lambda x}, & x\geqslant 0 \\ 0, & x<0 \end{array}\right. p(x)={λeλx,0,x0x<0 F ( x ) = { 1 − e − λ x , x ⩾ 0 0 , x < 0 F(x)=\left\{\begin{array}{cc} 1-e^{-\lambda x}, & x\geqslant 0 \\ 0, & x<0 \end{array}\right. F(x)={1eλx,0,x0x<0 λ − 1 \lambda^{-1} λ1 λ − 2 \lambda^{-2} λ2
正态分布 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu,\sigma^2) XN(μ,σ2) p ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} p(x)=2π σ1e2σ2(xμ)2 F ( x ) = ∫ − ∞ x p ( t ) d t F(x)=\int^{x}_{-\infty}p(t)\text{d}t F(x)=xp(t)dt μ \mu μ σ 2 \sigma^2 σ2
卡方分布 X ∼ χ 2 ( n ) X\sim \chi^2(n) Xχ2(n) p ( x ) = { 1 2 n / 2 Γ ( n / 2 ) e − x 2 x n 2 − 1 , x > 0 0 , x ⩽ 0 p(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}, & x>0 \\ 0, & x\leqslant 0 \end{array}\right. p(x)={2n/2Γ(n/2)1e2xx2n1,0,x>0x0 F ( x ) = ∫ − ∞ x p ( t ) d t F(x)=\int^{x}_{-\infty}p(t)\text{d}t F(x)=xp(t)dt n n n 2 n 2n 2n
t分布 X ∼ t ( n ) X\sim t(n) Xt(n) p ( x ) = Γ ( n + 1 2 ) n π Γ ( n 2 ) ( 1 + x 2 n ) − n + 1 2 p(x)=\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}(1+\frac{x^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}} p(x)=nπ Γ(2n)Γ(2n+1)(1+nx2)2n+1 F ( x ) = ∫ − ∞ x p ( t ) d t F(x)=\int^{x}_{-\infty}p(t)\text{d}t F(x)=xp(t)dt 0 0 0 n n − 2 ,   \frac{n}{n-2},\space n2n,  ( n > 2 ) (n>2) (n>2)
F分布 X ∼ F ( m , n ) X\sim F(m,n) XF(m,n) p ( x ) = { Γ ( m + n 2 ) Γ ( m 2 ) Γ ( n 2 ) ( m n ) m 2 x m 2 − 1 ( 1 + m n x ) − m + n 2 , x > 0 0 , x ⩽ 0 p(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})}(\frac{m}{n})^{\frac{m}{2}}x^{\frac{m}{2}-1}(1+\frac{m}{n}x)^{-\frac{m+n}{2}}, & x>0 \\ 0, & x\leqslant 0 \end{array}\right. p(x)={Γ(2m)Γ(2n)Γ(2m+n)(nm)2mx2m1(1+nmx)2m+n,0,x>0x0 F ( x ) = ∫ − ∞ x p ( t ) d t F(x)=\int^{x}_{-\infty}p(t)\text{d}t F(x)=xp(t)dt n n − 2 ,   \frac{n}{n-2},\space n2n,  ( n > 2 ) (n>2) (n>2) 2 n 2 ( m + n − 2 ) m ( n − 2 ) 2 ( n − 4 ) ,   \frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)},\space m(n2)2(n4)2n2(m+n2),  ( n > 4 ) (n>4) (n>4)

文章目录

    • 常用连续型随机变量的概率分布速查表
    • 常用连续型随机变量的期望与方差
      • 均匀分布
      • 指数分布
      • 正态分布
      • 卡方分布
      • t \text{t} t分布
      • F \text{F} F分布

常用连续型随机变量的期望与方差

均匀分布

概率密度函数
p ( x ) = { 1 b − a , a < x < b 0 , o t h e r w i s e   。 p(x) = \left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{b-a}, & ap(x)={ba1,0,a<x<botherwise

分布函数
F ( x ) = { 0 , x < a x − a b − a , a ⩽ x < b 1 , x ⩾ b   。 F(x) = \left\{\begin{array}{cc} 0, & xF(x)=0,baxa,1,x<aax<bxb

数学期望
E ( X ) = ∫ a b x b − a d x = x 2 2 ( b − a ) ∣ a b = a + b 2   。 E(X) = \int_a^b\frac{x}{b-a}\text{d}x = \frac{x^2}{2(b-a) }{\bigg|}_a^b = \frac{a+b}{2} \thinspace。 E(X)=abbaxdx=2(ba)x2ab=2a+b

方差
E ( X 2 ) = ∫ a b x 2 b − a d x = b 3 − a 3 3 ( b − a ) = a 2 + a b + b 2 3   , E(X^2) = \int_a^b\frac{x^2}{b-a}\text{d}x = \frac{b^3-a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2+ab+b^2}{3} \thinspace, E(X2)=abbax2dx=3(ba)b3a3=3a2+ab+b2 V a r ( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X ) ) 2 = a 2 + a b + b 2 3 − ( a + b 2 ) 2 = ( b − a ) 2 12   。 Var(X) = E(X^2)-(E(X))^2 = \frac{a^2+ab+b^2}{3}-(\frac{a+b}{2})^2 = \frac{(b-a)^2}{12} \thinspace。 Var(X)=E(X2)(E(X))2=3a2+ab+b2(2a+b)2=12(ba)2

指数分布

概率密度函数
p ( x ) = { λ e − λ x , x ⩾ 0 0 , x < 0   。 p(x) = \left\{\begin{array}{cc} \lambda e^{-\lambda x}, & x\geqslant 0 \\ 0, & x<0 \end{array}\right. \thinspace。 p(x)={λeλx,0,x0x<0

分布函数
F ( x ) = { 1 − e − λ x , x ⩾ 0 0 , x < 0   。 F(x) = \left\{\begin{array}{cc} 1-e^{-\lambda x}, & x\geqslant 0 \\ 0, & x<0 \end{array}\right. \thinspace。 F(x)={1eλx,0,x0x<0

数学期望
E ( X ) = ∫ 0 + ∞ λ x e − λ x d x = − x e − λ x ∣ 0 + ∞ + ∫ 0 + ∞ e − λ x d x = − 1 λ e − λ x ∣ 0 + ∞ = 1 λ   。 E(X) = \int_0^{+\infty}\lambda xe^{-\lambda x}\text{d}x = -xe^{-\lambda x} {\Bigg|}_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty}e^{-\lambda x}\text{d}x = \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda x} {\Bigg|}_0^{+\infty} = \frac{1}{\lambda} \thinspace。 E(X)=0+λxeλxdx=xeλx0++0+eλxdx=λ1eλx0+=λ1

方差
E ( X 2 ) = ∫ 0 + ∞ x 2 λ e − λ x d x = − x 2 e − λ x ∣ 0 + ∞ + 2 ∫ 0 + ∞ x e − λ x d x = 2 λ E ( X ) = 2 λ 2   , E(X^2) = \int_0^{+\infty}x^2\lambda e^{-\lambda x}\text{d}x = -x^2e^{-\lambda x} {\Bigg|}_0^{+\infty} + 2\int_0^{+\infty}xe^{-\lambda x}\text{d}x = \frac{2}{\lambda}E(X) = \frac{2}{\lambda^2} \thinspace, E(X2)=0+x2λeλxdx=x2eλx0++20+xeλxdx=λ2E(X)=λ22 V a r ( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X ) ) 2 = 2 λ 2 − 1 λ 2 = 1 λ 2   。 Var(X) = E(X^2)-(E(X))^2 = \frac{2}{\lambda^2}-\frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2} \thinspace。 Var(X)=E(X2)(E(X))2=λ22λ21=λ21

正态分布

概率密度函数
p ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2   。 p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \thinspace。 p(x)=2π σ1e2σ2(xμ)2

证明 ∫ − ∞ + ∞ p ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\text{d}x=1 +p(x)dx=1

I = ∫ − ∞ + ∞ p ( x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x = x = μ + σ t ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π e − t 2 2 d t I = \int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\text{d}x = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\text{d}x \overset{x=\mu+\sigma t}{=} \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}\text{d}t I=+p(x)dx=+2π σ1e2σ2(xμ)2dx=x=μ+σt+2π 1e2t2dt,则
I 2 = 1 2 π ( ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 2 d x ) ( ∫ − ∞ + ∞ e − y 2 2 d y ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 + y 2 2 d x d y = 1 2 π ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 + ∞ e − r 2 2 r d r = − e − r 2 2 ∣ 0 + ∞ = 1   。 \begin{aligned} I^2 &= \frac{1}{2\pi} (\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}\text{d}x) (\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{y^2}{2}} \text{d}y) \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} \text{d}x\text{d}y \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}\text{d}\theta \int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{r^2}{2}}r\text{d}r \\ &= -e^{-\frac{r^2}{2}} {\Bigg|}_0^{+\infty} \\ &= 1 \thinspace。 \end{aligned} I2=2π1(+e2x2dx)(+e2y2dy)=2π1++e2x2+y2dxdy=2π102πdθ0+e2r2rdr=e2r20+=1又因为 p ( x ) > 0 p(x)>0 p(x)>0,所以 I > 0 I>0 I>0,从而 I = 1 I=1 I=1

数学期望

引理:若随机变量 X X X服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1),则
E ( X n ) = { 0 , n 为 奇 数 2 n / 2 π Γ ( n + 1 2 ) , n 为 偶 数   。 E(X^n)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & n为奇数 \\ \frac{2^{n/2}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(\frac{n+1}{2}), & n为偶数 \end{array}\right. \thinspace。 E(Xn)={0,π 2n/2Γ(2n+1),nn其中 Γ \Gamma Γ函数(伽马函数)定义为 Γ ( s ) = ∫ 0 + ∞ e − t t s − 1 d t \Gamma(s)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}t^{s-1}\text{d}t Γ(s)=0+etts1dt,有如下性质

  • 递推公式: Γ ( s + 1 ) = s Γ ( s ) ,   ( s > 0 ) \Gamma(s+1)=s\Gamma(s),\space (s>0) Γ(s+1)=sΓ(s), (s>0)
  • 几个重要的值: Γ ( 1 ) = 1 \Gamma(1)=1 Γ(1)=1 Γ ( 1 2 ) = π \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} Γ(21)=π
  • 余元公式(暂不需要用到): Γ ( s ) Γ ( 1 − s ) = π sin ⁡ π s ,   ( 0 < s < 1 ) \Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin\pi s},\space (0Γ(s)Γ(1s)=sinπsπ, (0<s<1)

证明:

X X X的密度函数为 φ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} φ(x)=2π 1e2x2,先计算

∫ 0 + ∞ x n φ ( x ) d x      =      ∫ 0 + ∞ x n 1 π ⋅ e − ( x 2 ) 2 d x 2 = x = 2 t ∫ 0 + ∞ 2 n / 2 π ⋅ ( t ) n e − t d t      =      1 2 ⋅ 2 n / 2 π ∫ 0 + ∞ t n − 1 2 e − t d t      =      1 2 ⋅ 2 n / 2 π Γ ( n + 1 2 )   。 \begin{aligned} \int_0^{+\infty}x^n\varphi(x)\text{d}x &\space\space\,=\space\space\, \int_0^{+\infty} x^n\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cdot e^{-(\frac{x}{\sqrt{2}})^2} \text{d}\frac{x}{\sqrt{2}} \\ &\overset{x=\sqrt{2t}}{=} \int_0^{+\infty} \frac{2^{n/2}}{\sqrt{\pi}}\cdot (\sqrt{t})^ne^{-t} \text{d}\sqrt{t} \\ &\space\space\,=\space\space\, \frac{1}{2}\cdot\frac{2^{n/2}}{\sqrt{\pi}} \int_0^{+\infty}t^{\frac{n-1}{2}}e^{-t} \text{d}t \\ &\space\space\,=\space\space\, \frac{1}{2}\cdot\frac{2^{n/2}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(\frac{n+1}{2}) \thinspace。 \end{aligned} 0+xnφ(x)dx  =  0+xnπ 1e(2 x)2d2 x=x=2t 0+π 2n/2(t )netdt   =  21π 2n/20+t2n1etdt  =  21π 2n/2Γ(2n+1) n n n为奇数时,有
∫ − ∞ 0 x n φ ( x ) d x = x = − t ∫ + ∞ 0 ( − t ) n φ ( − t ) d ( − t ) = − ∫ 0 + ∞ t n φ ( t ) d t = t = x − ∫ 0 + ∞ x n φ ( x ) d x   , \int_{-\infty}^{0}x^n\varphi(x)\text{d}x \overset{x=-t}{=} \int_{+\infty}^{0}(-t)^n\varphi(-t)\text{d}(-t) = -\int_0^{+\infty}t^n\varphi(t)\text{d}t \overset{t=x}{=} -\int_0^{+\infty}x^n\varphi(x)\text{d}x \thinspace, 0xnφ(x)dx=x=t+0(t)nφ(t)d(t)=0+tnφ(t)dt=t=x0+xnφ(x)dx于是
E ( X n ) = ∫ − ∞ 0 x n φ ( x ) d x + ∫ 0 + ∞ x n φ ( x ) d x = 0   。 E(X^n) = \int_{-\infty}^{0} x^n\varphi(x) \text{d}x + \int_0^{+\infty} x^n\varphi(x) \text{d}x = 0 \thinspace。 E(Xn)=0xnφ(x)dx+0+xnφ(x)dx=0也可以这样来说明 n n n为奇数时 E ( X ) = 0 E(X)=0 E(X)=0

n 为 奇 数 φ ( x ) 为 偶 函 数 } ⇒ x n φ ( x ) 为 奇 函 数 ∫ 0 + ∞ x n φ ( x ) d x 为 定 值 } ⇒ x n φ ( x ) 为 奇 函 数 ∫ − ∞ + ∞ x n φ ( x ) d x 收 敛 } ⇒ E ( X ) = 0   。 \left.\begin{array}{r} \left.\begin{array}{r} n为奇数 \\ \varphi(x)为偶函数 \end{array}\right\} \Rightarrow x^n\varphi(x)为奇函数 \\ \int_{0}^{+\infty}x^n\varphi(x)dx为定值 \end{array}\right\} \Rightarrow \left.\begin{array}{r} x^n\varphi(x)为奇函数 \\ \int_{-\infty}^{+\infty}x^n\varphi(x)dx收敛 \end{array}\right\} \Rightarrow E(X)=0 \thinspace。 nφ(x)}xnφ(x)0+xnφ(x)dxxnφ(x)+xnφ(x)dx}E(X)=0
n n n为偶数时,同理有

E ( X n ) = ∫ − ∞ 0 x n φ ( x ) d x + ∫ 0 + ∞ x n φ ( x ) d x = 2 ∫ 0 + ∞ x n φ ( x ) d x = 2 n / 2 π Γ ( n + 1 2 )   。 E(X^n) = \int_{-\infty}^{0} x^n\varphi(x)\text{d}x+\int_0^{+\infty}x^n\varphi(x) \text{d}x = 2\int_0^{+\infty} x^n\varphi(x) \text{d}x = \frac{2^{n/2}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(\frac{n+1}{2}) \thinspace。 E(Xn)=0xnφ(x)dx+0+xnφ(x)dx=20+xnφ(x)dx=π 2n/2Γ(2n+1)

引理证明完毕。

X X X服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2) Y Y Y服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1),则
E ( X )       =       ∫ − ∞ + ∞ x 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x = x = μ + σ t ∫ − ∞ + ∞ μ + σ t 2 π e − t 2 2 d t       =       μ ∫ − ∞ + ∞ φ ( t ) d t + σ ∫ − ∞ + ∞ t φ ( t ) d t       =       μ E ( Y 0 ) + σ E ( Y 1 )       =       μ   。 \begin{aligned} E(X) &\space\space\space\,=\space\space\space\, \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \text{d}x \\ &\overset{x=\mu+\sigma t}{=} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mu+\sigma t}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}} \text{d}t \\ &\space\space\space\,=\space\space\space\, \mu\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(t)\text{d}t + \sigma\int_{-\infty}^{+\infty}t\varphi(t)\text{d}t \\ &\space\space\space\,=\space\space\space\, \mu E(Y^0) + \sigma E(Y^1) \\ &\space\space\space\,=\space\space\space\, \mu \thinspace。 \end{aligned} E(X)   =   +2π σxe2σ2(xμ)2dx=x=μ+σt+2π μ+σte2t2dt   =   μ+φ(t)dt+σ+tφ(t)dt   =   μE(Y0)+σE(Y1)   =   μ

方差
V a r ( X )       =       E ( ( X − E ( X ) ) 2 )       =       ∫ − ∞ + ∞ ( x − μ ) 2 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x = x = μ + σ t σ 2 ∫ − ∞ + ∞ t 2 2 π e − t 2 2 d t       =       σ E ( Y 2 )       =       σ   。 \begin{aligned} Var(X) &\space\space\space\,=\space\space\space\, E((X-E(X))^2) \\ &\space\space\space\,=\space\space\space\, \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{(x-\mu)^2}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \text{d}x \\ &\overset{x=\mu+\sigma t}{=} \sigma^2\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t^2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}} \text{d}t \\ &\space\space\space\,=\space\space\space\, \sigma E(Y^2) \\ &\space\space\space\,=\space\space\space\, \sigma \thinspace。 \end{aligned} Var(X)   =   E((XE(X))2)   =   +2π σ(xμ)2e2σ2(xμ)2dx=x=μ+σtσ2+2π t2e2t2dt   =   σE(Y2)   =   σ

卡方分布

Y 1 , Y 2 , ⋯   , Y n Y_1,Y_2,\cdots,Y_n Y1,Y2,,Yn为独立同分布的随机变量,且均服从标准正态分布,则称随机变量 X = ∑ i = 1 n Y i 2 X=\sum\limits_{i=1}^{n}Y_i^2 X=i=1nYi2服从自由度为 n n n的卡方分布。

概率密度函数
p ( x ) = { 1 2 n / 2 Γ ( n / 2 ) e − x 2 x n 2 − 1 , x > 0 0 , x ⩽ 0   。 p(x) = \left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}, & x>0 \\ 0, & x\leqslant 0 \end{array}\right. \thinspace。 p(x)={2n/2Γ(n/2)1e2xx2n1,0,x>0x0

推导过程

卡方分布概率密度函数的推导

证明 ∫ − ∞ + ∞ p ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\text{d}x=1 +p(x)dx=1

∫ 0 + ∞ 1 2 n / 2 Γ ( n / 2 ) e − x 2 x n 2 − 1 d x = 1 2 n / 2 Γ ( n / 2 ) ⋅ 2 n 2 ∫ 0 + ∞ e − x 2 ( x 2 ) n 2 − 1 d x 2 = 1 2 n / 2 Γ ( n / 2 ) ⋅ 2 n 2 Γ ( n / 2 ) = 1   。 \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}-1} \text{d}x = \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}\cdot 2^{\frac{n}{2}} \int_{0}^{+\infty} e^{-\frac{x}{2}}(\frac{x}{2})^{\frac{n}{2}-1} \text{d}\frac{x}{2} = \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}\cdot 2^{\frac{n}{2}}\Gamma(n/2) = 1 \thinspace。 0+2n/2Γ(n/2)1e2xx2n1dx=2n/2Γ(n/2)122n0+e2x(2x)2n1d2x=2n/2Γ(n/2)122nΓ(n/2)=1

数学期望
E ( X ) = E ( ∑ i = 1 n Y i 2 ) = ∑ i = 1 n E ( Y i 2 ) = ∑ i = 1 n E ( ( Y i − 0 ) 2 ) = ∑ i = 1 n V a r ( Y i ) = n   。 E(X) = E(\sum\limits_{i=1}^{n}Y_i^2)=\sum\limits_{i=1}^{n}E(Y_i^2) = \sum\limits_{i=1}^{n}E((Y_i-0)^2) = \sum\limits_{i=1}^{n}Var(Y_i) = n \thinspace。 E(X)=E(i=1nYi2)=i=1nE(Yi2)=i=1nE((Yi0)2)=i=1nVar(Yi)=n

方差
V a r ( X ) = V a r ( ∑ i = 1 n Y i 2 ) = ∑ i = 1 n V a r ( Y i 2 ) = ∑ i = 1 n ( E ( Y i 4 ) − E ( Y i 2 ) ) = ∑ i = 1 n ( 3 − 1 ) = 2 n   。 Var(X) = Var(\sum\limits_{i=1}^{n}Y_i^2) = \sum\limits_{i=1}^{n}Var(Y_i^2) = \sum\limits_{i=1}^{n}(E(Y_i^4)-E(Y_i^2)) = \sum\limits_{i=1}^{n}(3-1) = 2n \thinspace。 Var(X)=Var(i=1nYi2)=i=1nVar(Yi2)=i=1n(E(Yi4)E(Yi2))=i=1n(31)=2n

E ( Y i 4 ) E(Y_i^4) E(Yi4)的计算见上文正态分布数学期望的引理部分。

t \text{t} t分布

X X X服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1) Y Y Y服从卡方分布 χ 2 ( n ) \chi^2(n) χ2(n),且 X X X Y Y Y相互独立,则称随机变量 T = X Y / n T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}} T=Y/n X为服从自由度为 n n n t \text{t} t分布。

概率密度函数
p ( x ) = Γ ( n + 1 2 ) n π Γ ( n 2 ) ( 1 + x 2 n ) − n + 1 2   。 p(x) = \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{n}{2})} (1+\frac{x^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}} \thinspace。 p(x)=nπ Γ(2n)Γ(2n+1)(1+nx2)2n+1

推导过程

t分布概率密度函数的推导

证明 ∫ − ∞ + ∞ p ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\text{d}x=1 +p(x)dx=1

∫ − ∞ + ∞ p ( x ) d x   =   ∫ − ∞ + ∞ Γ ( n + 1 2 ) n π Γ ( n 2 ) ( 1 + x 2 n ) − n + 1 2 d x = x = n tan ⁡ θ Γ ( n + 1 2 ) n π Γ ( n 2 ) ∫ 0 π 2 ( 1 cos ⁡ 2 θ ) − n + 1 2 n cos ⁡ 2 θ d θ   =   Γ ( n + 1 2 ) π Γ ( n 2 ) ⋅ ∫ 0 π 2 cos ⁡ n − 1 θ d θ   =   Γ ( n + 1 2 ) π Γ ( n 2 ) ⋅ 1 2 B ( 1 2 , n 2 )   =   Γ ( n + 1 2 ) π Γ ( n 2 ) ⋅ 1 2 ⋅ Γ ( 1 2 ) Γ ( n 2 ) Γ ( n + 1 2 )   =   1   , \begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\text{d}x &\quad\space=\quad\space \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}(1+\frac{x^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}}\text{d}x \\ &\overset{\tiny x=\sqrt{n}\tan\theta}{=} \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{n}{2})} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{1}{\cos^2\theta})^{-\frac{n+1}{2}}\frac{\sqrt{n}}{\cos^2\theta}\text{d}\theta \\ &\quad\space=\quad\space \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}\cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n-1}\theta\text{d}\theta \\ &\quad\space=\quad\space \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}\cdot \frac{1}{2}B(\frac{1}{2},\frac{n}{2}) \\ &\quad\space=\quad\space \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{n+1}{2})} \\ &\quad\space=\quad\space 1 \thinspace, \end{aligned} +p(x)dx = +nπ Γ(2n)Γ(2n+1)(1+nx2)2n+1dx=x=n tanθnπ Γ(2n)Γ(2n+1)02π(cos2θ1)2n+1cos2θn dθ = π Γ(2n)Γ(2n+1)02πcosn1θdθ = π Γ(2n)Γ(2n+1)21B(21,2n) = π Γ(2n)Γ(2n+1)21Γ(2n+1)Γ(21)Γ(2n) = 1其中 B B B函数定义为
B ( x , y ) = ∫ 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t ,   ( x > 0 , y > 0 )   , B(x,y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\text{d}t,\space(x>0,y>0) \thinspace, B(x,y)=01tx1(1t)y1dt, (x>0,y>0) t = sin ⁡ 2 u t=\sin^2u t=sin2u可以得到 B B B函数的另一形式
B ( x , y ) = 2 ∫ 0 π 2 sin ⁡ 2 x − 1 u cos ⁡ 2 y − 1 u d u   。 B(x,y) = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2x-1}u\cos^{2y-1}u\text{d}u \thinspace。 B(x,y)=202πsin2x1ucos2y1udu Γ \Gamma Γ函数和 B B B函数有这样的关系
B ( x , y ) = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y )   。 B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \thinspace。 B(x,y)=Γ(x+y)Γ(x)Γ(y)

数学期望
E ( T ) = E ( X ) E ( 1 Y / n ) = 0 ⋅ E ( 1 Y / n ) = 0   。 E(T) = E(X)E(\frac{1}{\sqrt{Y/n}}) = 0\cdot E(\frac{1}{\sqrt{Y/n}}) = 0 \thinspace。 E(T)=E(X)E(Y/n 1)=0E(Y/n 1)=0

方差

引理:若 X X X服从卡方分布 χ 2 ( n ) \chi^2(n) χ2(n),那么当 k > − n 2 k>-\frac{n}{2} k>2n时, E ( X k ) = 2 k ⋅ Γ ( n 2 + k ) Γ ( n 2 ) E(X^k)=2^k\cdot\frac{\Gamma(\frac{n}{2}+k)}{\Gamma(\frac{n}{2})} E(Xk)=2kΓ(2n)Γ(2n+k)

证明:
E ( X k ) = ∫ 0 + ∞ x k 1 2 n / 2 Γ ( n / 2 ) e − x 2 x n 2 − 1 d x = 1 2 n / 2 Γ ( n / 2 ) ∫ 0 + ∞ e − x 2 x n 2 + k − 1 d x = 2 n 2 + k 1 2 n / 2 Γ ( n / 2 ) ∫ 0 + ∞ e − x 2 ( x 2 ) n 2 + k − 1 d x 2 = 2 k ⋅ Γ ( n 2 + k ) Γ ( n 2 )   。 \begin{aligned} E(X^k) &= \int_{0}^{+\infty}x^k\frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}\text{d}x \\ &= \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}+k-1}\text{d}x \\ &= 2^{\frac{n}{2}+k} \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{x}{2}}(\frac{x}{2})^{\frac{n}{2}+k-1}\text{d}\frac{x}{2} \\ &= 2^k\cdot\frac{\Gamma(\frac{n}{2}+k)}{\Gamma(\frac{n}{2})} \thinspace。 \end{aligned} E(Xk)=0+xk2n/2Γ(n/2)1e2xx2n1dx=2n/2Γ(n/2)10+e2xx2n+k1dx=22n+k2n/2Γ(n/2)10+e2x(2x)2n+k1d2x=2kΓ(2n)Γ(2n+k)

V a r ( T ) = E ( T 2 ) − ( E ( T ) ) 2 = E ( T 2 ) = n E ( X 2 ) W ( 1 Y ) = n ⋅ 1 ⋅ 2 − 1 Γ ( n 2 − 1 ) Γ ( n 2 ) = n n − 2 ,   ( n > 2 )   。 \begin{aligned} Var(T) &= E(T^2)-(E(T))^2 \\ &= E(T^2) \\ &= nE(X^2)W(\frac{1}{Y}) \\ &= n\cdot 1\cdot 2^{-1}\frac{\Gamma(\frac{n}{2}-1)}{\Gamma(\frac{n}{2})} \\ &= \frac{n}{n-2},\space (n>2) \thinspace。 \end{aligned} Var(T)=E(T2)(E(T))2=E(T2)=nE(X2)W(Y1)=n121Γ(2n)Γ(2n1)=n2n, (n>2)

F \text{F} F分布

U U U服从卡方分布 χ 2 ( m ) \chi^2(m) χ2(m) V V V服从卡方分布 χ 2 ( n ) \chi^2(n) χ2(n),且 U U U V V V相互独立,则称随机变量 F = U / m V / n F=\frac{U/m}{V/n} F=V/nU/m为服从自由度为 ( m , n ) (m,n) (m,n) F \text{F} F分布。

概率密度函数
p ( x ) = { Γ ( m + n 2 ) Γ ( m 2 ) Γ ( n 2 ) ( m n ) m 2 x m 2 − 1 ( 1 + m n x ) − m + n 2 , x > 0 0 , x ⩽ 0   。 p(x )= \left\{\begin{array}{cc} \frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})}(\frac{m}{n})^{\frac{m}{2}}x^{\frac{m}{2}-1}(1+\frac{m}{n}x)^{-\frac{m+n}{2}}, & x>0 \\ 0, & x\leqslant 0 \end{array}\right. \thinspace。 p(x)={Γ(2m)Γ(2n)Γ(2m+n)(nm)2mx2m1(1+nmx)2m+n,0,x>0x0

推导过程
F分布概率密度函数的推导

证明 ∫ − ∞ + ∞ p ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\text{d}x=1 +p(x)dx=1
∫ − ∞ + ∞ p ( x ) d x     =     Γ ( m + n 2 ) Γ ( m 2 ) Γ ( n 2 ) ( m n ) m 2 ∫ 0 + ∞ x m 2 − 1 ( 1 + m n x ) − m + n 2 d x = x = n m tan ⁡ 2 θ Γ ( m + n 2 ) Γ ( m 2 ) Γ ( n 2 ) ( m n ) m 2 ∫ 0 π 2 ( n m ) m 2 − 1 tan ⁡ m − 2 θ ⋅ ( 1 cos ⁡ 2 θ ) − m + n 2 ⋅ 2 n sin ⁡ θ m cos ⁡ 3 θ d θ     =     Γ ( m + n 2 ) Γ ( m 2 ) Γ ( n 2 ) ⋅ 2 ∫ 0 π 2 sin ⁡ m − 1 θ cos ⁡ n − 1 θ d θ     =     Γ ( m + n 2 ) Γ ( m 2 ) Γ ( n 2 ) B ( m 2 , n 2 )     =     1   , \begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\text{d}x &\quad\space\,=\quad\space\, \frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})} (\frac{m}{n})^{\frac{m}{2}} \int_{0}^{+\infty} x^{\frac{m}{2}-1} (1+\frac{m}{n}x)^{-\frac{m+n}{2}} \text{d}x \\ &\overset{\tiny x=\frac{n}{m}\tan^2\theta}{=} \frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})} (\frac{m}{n})^{\frac{m}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\frac{n}{m})^{\frac{m}{2}-1}\tan^{m-2}\theta\cdot (\frac{1}{\cos^2\theta})^{-\frac{m+n}{2}}\cdot \frac{2n\sin\theta}{m\cos^3\theta} \text{d}\theta \\ &\quad\space\,=\quad\space\, \frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})}\cdot 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{m-1}\theta\cos^{n-1}\theta \text{d}\theta \\ &\quad\space\,=\quad\space\, \frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})} B(\frac{m}{2},\frac{n}{2}) \\ &\quad\space\,=\quad\space\, 1 \thinspace, \end{aligned} +p(x)dx = Γ(2m)Γ(2n)Γ(2m+n)(nm)2m0+x2m1(1+nmx)2m+ndx=x=mntan2θΓ(2m)Γ(2n)Γ(2m+n)(nm)2m02π(mn)2m1tanm2θ(cos2θ1)2m+nmcos3θ2nsinθdθ = Γ(2m)Γ(2n)Γ(2m+n)202πsinm1θcosn1θdθ = Γ(2m)Γ(2n)Γ(2m+n)B(2m,2n) = 1其中关于 B B B函数的定义见上文 t \text{t} t分布的证明 ∫ − ∞ + ∞ p ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\text{d}x=1 +p(x)dx=1部分。

数学期望
E ( F ) = n m E ( U ) E ( 1 V ) = n m ⋅ m ⋅ 2 − 1 Γ ( n 2 − 1 ) Γ ( n 2 ) = n n − 2 ,   ( n > 2 )   。 E(F) = \frac{n}{m}E(U)E(\frac{1}{V}) = \frac{n}{m}\cdot m\cdot 2^{-1}\frac{\Gamma(\frac{n}{2}-1)}{\Gamma(\frac{n}{2})} = \frac{n}{n-2},\space (n>2) \thinspace。 E(F)=mnE(U)E(V1)=mnm21Γ(2n)Γ(2n1)=n2n, (n>2)

E ( 1 V ) E(\frac{1}{V}) E(V1)的计算见上文 t \text{t} t分布方差的引理部分。

方差
V a r ( F ) = E ( F 2 ) − ( E ( F ) ) 2 = n 2 m 2 E ( U 2 ) E ( 1 V 2 ) − ( E ( F ) ) 2 = n 2 m 2 ⋅ 2 2 Γ ( m 2 + 2 ) Γ ( m 2 ) ⋅ 2 − 2 Γ ( n 2 − 2 ) Γ ( n 2 ) − ( n n − 2 ) 2 = n 2 m 2 ⋅ ( m + 2 ) m ⋅ 1 ( n − 2 ) ( n − 4 ) − n 2 ( n − 2 ) 2 = 2 n 2 ( m + n − 2 ) m ( n − 2 ) 2 ( n − 4 ) ,   ( n > 4 )   。 \begin{aligned} Var(F) &= E(F^2) - (E(F))^2 \\ &= \frac{n^2}{m^2}E(U^2)E(\frac{1}{V^2}) - (E(F))^2 \\ &= \frac{n^2}{m^2}\cdot 2^2\frac{\Gamma(\frac{m}{2}+2)}{\Gamma(\frac{m}{2})}\cdot 2^{-2}\frac{\Gamma(\frac{n}{2}-2)}{\Gamma(\frac{n}{2})} - (\frac{n}{n-2})^2 \\ &= \frac{n^2}{m^2}\cdot (m+2)m\cdot \frac{1}{(n-2)(n-4)} - \frac{n^2}{(n-2)^2} \\ &= \frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)},\space (n>4) \thinspace。 \end{aligned} Var(F)=E(F2)(E(F))2=m2n2E(U2)E(V21)(E(F))2=m2n222Γ(2m)Γ(2m+2)22Γ(2n)Γ(2n2)(n2n)2=m2n2(m+2)m(n2)(n4)1(n2)2n2=m(n2)2(n4)2n2(m+n2), (n>4)

E ( U 2 ) E(U^2) E(U2) E ( 1 V 2 ) E(\frac{1}{V^2}) E(V21)的计算见上文 t \text{t} t分布方差的引理部分。

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