“鸡兔同笼”问题蕴含的数学思维、数学思想

郭靖

[摘 要]“鸡兔同笼”问题是我国古代数学里的经典问题，出自《孙子算经》，也是小学数学的拓展内容。“鸡兔同笼”问题是一类题的总述，其背后隐藏着不同的解题策略与思维。教师应剖析由“鸡兔同笼”问题延伸出来的解题思路与思考方式，探究其背后的数学思想，找到向学生渗透数学思想的途径，即通过“鸡兔同笼”问题培养学生的数学思维。

[关键词]鸡兔同笼;数学思维;小学数学

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）14-0081-02

小学数学是义务教育的重要组成部分，小学数学教师除了讲授基础运算外，还要培养学生的数学思维。数学思维是一种宏观思维，是对数学知识的积累和掌握，也是对解题方法的认识。学生在解决数学问题时需要数学思维的辅助，在特定的条件下，还要转变或创新数学思维才能做出最佳选择。为了更好地培养学生的数学思维，教师首先要有数学思维。而“鸡兔同笼”问题是培养学生数学思维的突破口，教师要切实有效地利用它，帮助学生掌握更多解题思路，从而使学生建立数学思维。

一、“鸡兔同笼”问题概述

《孙子算经》中的原题按照现在的理解是：笼子里有若干只鸡和兔子，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，那么各有多少只兔子和鸡？列式计算就是：兔子数量=（94÷2）-35=12（只），鸡的数量=35-12=23（只）。这种解法叫“归化法”，体现了我国古代先进的数学思维。而现代教材多用“假设法”，例如题目为：鸡兔共90个头，228只脚，各有多少只鸡和兔子？则可假设有90只鸡，那么脚应是2×90=180（只），比题中的脚数少228-180=48（只），又因为兔子有4只脚，当把兔子算成鸡时，自然每只兔子都少了两只脚，少了的脚数除以2，就是兔子的數量，即兔子有48÷2=24（只）。同理可以假设全都是兔子，用多出来的脚数算出鸡的数量。

二、“鸡兔同笼”问题蕴含的数学思维

1.猜想思维

“鸡兔同笼”问题会让学生产生“猜一猜”各有多少只鸡和兔，这可以培养学生的猜想能力。在猜想被证实或被否定时，学生就会逐步提升学习数学的积极性，激发深入探究的兴趣和动力，奠定找到适合的解题方法的基础，并在已有的认知基础上对未知进行猜测，再根据规律去求证。实际上，任何数学发现的开端，都是大胆猜想与开拓精神并存的壮举。因此，猜想思维对学生的学习有利无害，培养学生的猜想思维是数学教学中不容忽视的一环。

2.列举思维

列举即直接将猜想结果排列出来。在解决“鸡兔同笼”问题时，教师可以引导学生可以画一个表格，将各种假设情况填入表内，这样思路会更清晰。学生通过观察表格，可以发现某种规律，并用规律解决问题。也可以通过图画来列举，即画出鸡和兔子的头、脚的数量，再通过给所有头匹配两只脚，得出剩下多少只脚，就是兔子少的脚的总和，这样兔子的数量便可以算出来了。列举比建模更直接、快捷，也是数学建模的前提和基础。

3.转化思维

很多教材及习题集里的“鸡兔同笼”问题与原题有很大不同，可以说是对原题的转化。例如，“一个笼子里有鸡和兔子，上数16个头，下数42只脚”或“笼子里有鸡和兔子共80只”等等，通过减小数量或增加条件，设置不同程度的变化，除了难易程度的转变，也是转化思维的体现。转化思维可以指简化思维，即将复杂的问题简单化;也可以指转变思维，即将问题的形式转变到更易解决的状态;还可以指抽象思维，即将相似的问题归为一类，用同样的方法解决。学生在教师的引导下，通过了解这些题目的异同以及转变过程，便可以很好地掌握转化思维，灵活地学习数学。

4.代数思维

“鸡兔同笼”问题还可以利用方程式来解决，设有x只兔子或x只鸡，都可以得出一个一元方程。以方程来解决问题是一种代数思维。学生拥有了代数思维，就可以运用方程把陈述性语言转化成代数式，沟通已知数量与未知数量解决一些较为复杂的数学问题。在小学阶段，列方程和解方程是重要的基础知识，也是学生学习复杂方程式的过渡知识。

三、有效利用“鸡兔同笼”问题培养学生的数学思维

1.强化思维意识

数学思维的培养在小学数学教学中占据重要地位，而“鸡兔同笼”问题对培养学生的数学思维有着重要意义。教师要注重培养学生的数学思维，而数学思维需要深入挖掘。如果教师不认真研读教材、探索教材背后的思维方式，就不可能带领学生去掌握数学思维。因此，教师要深刻认识到培养学生数学思维的重要性，努力吃透教材、提升自我，自觉在课堂内外向学生渗透数学思维。

2.选择思维方式

数学思维的培养并不是直接要求学生熟悉数学概念，也不是把数学思维生硬地搬到课堂上。而是要遵循“润物细无声”的原则，慢慢引导学生掌握、领略数学思维。学生通过探索吸取理论精华，就能逐渐内化思路方式为思维意识，在潜移默化中形成数学思维。解决“鸡兔同笼”问题需要用到转化、列举和猜想等多种思维，这些思维既有联系又有区别，且有一定的特点。教师要选择合适的数学思维来教学，例如猜想思维比较适用于低年级学生掌握基础运算，转化思维则适合高年级学生用来突破自我。

总之，培养学生的数学思维是一件任重而道远的事，教师一定要注意理论与实际的结合，并利用“鸡兔同笼”问题在不同的教学场景中调整教学目标，帮助学生掌握数学思维，学习更多的解题思路，以达到最优的学习效果。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 冯镜.“鸡兔同笼”教学纪实与反思[J].黑龙江教育：小学，2017（5）：22-24.

[2] 阳志强.“假设法”在小学数学教学中的实践研究[J].珠江教育论坛，2017（4）：13-17.

[3] 花沐露.浅谈数学史融入小学数学教学的方略[J].教育研究与评论（课堂观察），2017（3）：93-94.

[4] 孙雯莉.小学思维训练中数学建模思想的运用探究[J].教师，2017（23）：43-43.

（责编 黄 露）