置信区间 confidence interval

预备知识

这里提到的内容可能在其他笔记中有出现，但是考虑到重复能够加深记忆，就这样吧。

随机变量之差的方差

已知条件：

。

另有随机变量，那么有：

这是很好理解的，相当于两个色子的点数相加后的期望，当然是每个色子期望之和。类似的，还有。

比较不那么显然是方差的情况，这里作一个简单说明：




这里的相当于是把随机变量的值累加再减去均值的累加，结果当然是0。因此第三项前面无论是正号还是负号，都不影响结果，因此我们可以说：

结论：随机变量之差(和)的方差为这些随机变量方差之和。

顺便看一下相反数的情况：

结论：随机变量与其相反数方差相等。

样本均值之差的分布

已知条件：
有两个随机变量的某种分布，不一定是正态分布。但是根据中心极限定理，我们可以确定它们的样本均值的抽样分布符合正态分布。
不过这里先假设。

关于抽样分布的参数：
均值：根据中心极限定理，其均值和总体相同，即。
方差：，为样本的大小。

证明：
样本中的元素假设都是独立的。可以理解把一次抽n个变成每次抽一个，抽n次（有放回地抽取）。因此都等于总体标准差。记该样本的均值为。

现在来看样本均值之差的分布，为了方便，记这个差值为随机变量：

均值之差的置信区间

在不同的场合下，置信区间有不同的用法，这里用于均值之差。
有这样一个实验：实验组食用低脂肪食物，对照组食用等量非低脂肪食物。均为100人，一段时间后，实验组体重减少的均值为9.31，标准差4.67。对照组体重减少的均值为7.40，标准差4.04。(假定这里的标准差是无偏的)
由于我们要看的是该种减肥方式对所有人总体的效果，因此测试这部分人只能算作样本，现在，我们是在通过样本估计总体。大部分实验都是这个基本思路。
为了判断低脂肪食物是否真的有减肥作用，我们来观察差值的分布情况。其中，是实验组的随机变量，是对照组的随机变量。
从抽样的情况看，均值相差：9.31 - 7.40 = 1.91，看起来低脂肪食物是有效的。我们进一步通过置信区间来明确这个有效的程度。


（这里）

但是我们不知道总体的方差。但是我们可以通过一次抽样的无偏估计来估算总体的方差。因此继续：

于是。

假如我们选择95%置信区间，它的含义就是说，大约在100次抽样中，有95次这个差值会命中我们的这个区间。那么怎么算这个区间呢？
我们已经计算出的分布了，也就是假如我们抽样非常多次，最后的的概率密度曲线就是我们所计算的那个正态分布的曲线。那么要有95%的命中率，我们当然就应该让这个区间对应的曲线下的面积为95%。
查表可得：在区间之间的面积是95%，那么我们可以算出：

于是我们的置信区间就是 ，即。可以看出，在95%的置信水平下，下限也是一个正值，即实验组的减肥效果优于对照组。我们的结论是：该方案有效。

参考资料

可汗学院 https://www.khanacademy.org