AM@空间平面束(平面系)方程pencil of planes

平面束方程

• 设直线$L$的一般方程:

  • $$\begin{gathered} {\Pi }_1:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0 \\ {\Pi }_2:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0 \end{gathered}$$

  • 其中$A_1,B_1,C_1$,$A_2,B_2,C_2$不成比例

    • 即$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=k$不成立,(也即是两直线不平行)或
    • 不存在这样的k使得$A_1=k{A}_2;B_1=k{B}_2;C_1=k{C}_2$

• 两平面方程的一般式相加,得到

  • $$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1+(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)=0$$

• 更一般的,与${\Pi }_2$平行的平面可以表示为${\Pi }_2^p:\lambda (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z)+D^{\prime }=0$

  • 还可以写作${\Pi }_2^p:\lambda (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+{\lambda }^{-1}{D}^{\prime })=0$

    • 即${\Pi }_2^p:(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+{\lambda }^{-1}{D}^{\prime })=0$;而$D^{\prime }$表示任意常数,${\lambda }^{-1}{D}^{\prime }$也表示任意常数,可以使用$D^{\prime }$代替${\lambda }^{-1}{D}^{\prime }$,因此可以写作

      • $${\Pi }_2^p:(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D^{\prime })=0$$

  • 平面${\Pi }_2$的更一般的形式是$\lambda {\Pi }_2:\lambda (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D^{\prime })=0$,该方程和${\Pi }_2$表示的平面是完全相同的(重合),区别于一般的平行但不重合(因为$\lambda {\Pi }_2$两边同时除以$\lambda$,就得到${\Pi }_2$)

    • 这如同$4x=3$与$8x=6$的关系,两个方程是同解的,且可以直接相互转换

    $$\Pi :A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1+\lambda (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)=0$$

  • 其中$\lambda$是任意常数,将该方程等价变形:

    • $$\Pi :(A_1+\lambda A_2)x+(B_1+\lambda B_2)y+(C_1+\lambda C_2)z+(D_1+\lambda D_2)=0$$

    • 该方程中的$x,y,z$的系数均不同时为0,因为同时为0的充要条件是存在$\lambda$使得

      • $$\begin{gathered} A_1+\lambda A_2=0,A_1=-\lambda A_2 \\ {B}_1+\lambda B_2=0,B_1=-\lambda B_2 \\ {C}_1+\lambda C_2=0,C_1=-\lambda C_2 \end{gathered}$$

      • 而前面假设中指出${\Pi }_1,{\Pi }_2$不平行,即不能存在这样的$k=-\lambda$,使得$x,y,z$的系数同时为0

    • 因此方程$\Pi$表示的是一个受$\lambda$控制的平面,下面为了突出$\lambda$参数,可以详细记为$\Pi (\lambda )$,可以称为平面族

• 位于直线$L$上的点同时满足${\Pi }_1,{\Pi }_2$的方程,因此也满足方程$\Pi (\lambda )$

  • $$\begin{gathered} A_1{x}_0+B_1{y}_0+C_1{z}_0+D_1=0 \\ {A}_2{x}_0+B_2{y}_0+C_2{z}_0+D_2=0 \\ {A}_1{x}_0+B_1{y}_0+C_1{z}_0+D_1+\lambda (A_2{x}_0+B_2{y}_0+C_2{z}_0+D_2)=0 \end{gathered}$$

  • 因此直线上的所有点都位于平面$\Pi$,即直线$L$位于平面$\Pi$上

  • 对于不同的$\lambda$,平面方程$\Pi (\lambda )$表示通过$L$的不同平面(类比旗子的杆为直线$L$,旗帆表示(半)平面,以杆$L$为轴,旋转起来)

  • 通过直线$L$的平面(除了${\Pi }_2$以外),都可以用方程$\Pi (\lambda )$表示

    • ${\Pi }_2$无法被$\Pi (\lambda )$表示,因为无论$\lambda$取什么值,都无法使得${\Pi }_2$与$\Pi$两个方程相等(或说,使得${\Pi }_2=\Pi (\lambda )$的$\lambda$不存在)

更一般的形式

• $$\Pi (\mu ,\lambda ):\mu (A_1{x}_0+B_1{y}_0+C_1{z}_0+D_1)+\lambda (A_2{x}_0+B_2{y}_0+C_2{z}_0+D_2)=0$$

• 该方程表示的平面束可以表示任何通过直线$L$的平面方程

  • 当$\mu \ne 0$时,对$\Pi (\mu ,\lambda )$方程两边同时除以$\mu$,可得到$\Pi (\lambda )$的形式
  • 当$\mu =0$时,就是$\Pi (\mu ,\lambda )$比$\Pi (\lambda )$能够多表示的一个面,就是${\Pi }_2$(取$\mu =0,\lambda =1$)

• 可以借助平面的法向量来理解方程$\Pi (\mu ,\lambda )$的构造

  • $$(\mu A_1+\lambda A_2)x+(\mu B_1+\lambda B_2)y+(\mu C_1+\lambda C_2)z+(\mu D_1+\lambda D_2)=0$$

  • 平面$\Pi (\mu ,\lambda )$的法向量$(\mu A_1+\lambda A_2,\mu B_1+\lambda B_2,\mu C_1+\lambda C_2)$

• 完整和系统的证明参考文末小节面列出的相关文献

例

• 求直线$L_0$:
  $$\begin{gathered} x+y-z-1=0 \\ x-y+z+1=0 \end{gathered}$$
  在平面${\Pi }_0:x+y+z=0$上的投影直线的方程$L$

• 解

  • 只需要求得过$L$得$\Pi$得垂面方程${\Pi }_1$,然后联立${\Pi }_0,{\Pi }_1$得到直线的一般式方程(组)

  • 由直线的一般式方程组,可以构造过该直线的直线系(束).

  • 设过直线$L_0$的方程为$(x+y-z-1)+\lambda (x-y+z+1)=0$,即

    • $${\Pi }_1:(1+\lambda )x+(1-\lambda )y+(-1+\lambda )z+(-1+\lambda )=0$$

    • 由平面垂直关系:$(1+\lambda )\cdot 1+(1-\lambda )\cdot 1+(-1+\lambda )\cdot 1=0$,解得$\lambda =-1$

    • 从而${\Pi }_1:2y-2z-2=0$,即$y-z-1=0$

  • 从而直线$L$

    • $$\begin{gathered} y-z-1=0 \\ x+y+z=0 \end{gathered}$$

refs

• Pencil (geometry) - Wikipedia
• Pencil (Pencil_of_planes) - Wikipedia
• Study on the Theorem Proving of Plance Pencil Equation | SpringerLink
  • sci-hub镜像可以下载这个册子,里面的一个章节介绍了相关的证明
  • library.lol/main/51AE519BC38EABE162E4A439D030E872该链接可能有时效性
  • [pdf版本](https://cloudflare-ipfs.com/ipfs/bafykbzaceb7ew25jjxjngeloinknz2ne6myd4ppy7fredhlddclr7wkkpo6ik?filename=(Communications in Computer and Information Science 243) Hai-E Zhang%2C Cheng Wang%2C Wen-Feng Huo%2C Guo-Ying Pang (auth.)%2C Chunfeng Liu%2C Jincai Chang%2C Aimin Yang (eds.) - Information Computing and Applica.pdf)