深度学习中的gelu激活函数详解

论文：gaussian error linear units
(一)、什么是激活函数？
激活函数的本质就是给网络模型增加非线性，也就是在$w^{T}x+b$等线性变换后面加一个非线性变换，这个非线性变换就称为激活函数。

(二)、什么是gelu激活函数?
gelu（gaussian error linear units）就是我们常说的高斯误差线性单元，它是一种高性能的神经网络激活函数，因为gelu的非线性变化是一种符合预期的随机正则变换方式，公式如下：$$xP(X\le x)=x\Phi (x)\text{\hspace{1em}(2.1)}$$其中$\Phi (x)$指的是$x$的高斯正态分布的累积分布，完整形式如下：$$xP(X\le x)=x{\int }_{-\infty }^x\frac{e^{-\frac{(X-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}}{\sqrt{2\pi }\sigma }\mathrm{d}X\text{\hspace{1em}(2.2)}$$计算结果约为：$$0.5x(1+tanh[\sqrt{\frac{2}{\pi }}(x+0.044715x^3)])\text{\hspace{1em}(2.3)}$$或者可以表示为：$$x\sigma (1.702x)\text{\hspace{1em}(2.4)}$$由此可知，概率$P(X\le x)$（$x$可看成当前神经元的激活值输入）,即$X$的高斯正态分布$\varphi (X)$的累积分布$\Phi (x)$是随着$x$的变化而变化的，当$x$增大，$\Phi (x)$增大，当x减小，$\Phi (x)$减小，即当$x$越小，在当前激活函数激活的情况下，越有可能激活结果为0，即此时神经元被dropout，而当$x$越大越有可能被保留。

(三)、gelu的使用技巧（practices tips）
1.当在训练过程中使用gelus作为激活函数进行训练时，建议使用一个带有动量（momentum）的优化器，并将其作为深度学习网络的一种规范。
2.在使用gelus的过程中，公式（3）的$\sigma$函数的选择是非常关键的，一般需要使用与正态分布的累积分布近似的函数，一般可以选择与正态分布的累积分布较为近似的函数$sigmoid(x)=1/(1+e^{(-x)})$作为$\sigma$函数。

(四)、gelu激活函数的公式说明
1.在确定gelus激活函数公式之前，作者说，他发现SLU（Sigmoid Linear Units），即$x\sigma (x)$函数效果比ELU（Exponential Linear Units）和RELU（Rectified Linear Units）效果好，但是比$xsigmoid(1.702x)$公式效果要差，所以最终使用了$sigmoid(1.702x)$而不是$sigmoid(x)$去替代高斯分布的累计分布$\Phi (x)$。
2.之所以选择类高斯分布累积分布的函数去构建gelus激活函数公式，一是因为依据中心极限定理，大量独立随机变量的总体是服从近似正态分布的，因此，现实中有很多复杂情况可以被建模成近似正态分布，使用类正态分布函数作为激活函数就更加合理，二是在具有相同方差的所有可能的分布中，正态分布具有最大不确定性，即熵最大。

(五)、Gelu($u(均值)=0,\sigma (方差)=1$),Elu($\alpha =1$),Relu激活函数对比图

(六)、Gelu($u(均值)=0,\sigma (方差)=1$),Elu($\alpha =1$),Relu在Cifar-10数据集上的Classification Error(%)对比图

(七)、Gelu($u(均值)=0,\sigma (方差)=1$),Elu($\alpha =1$),Relu在Cifar-100 Wide Residual Network 上Log Loss的对比图

(八)、补充：ELu(Exponential Linear Units)公式
$$\{\begin{array}{l}xifx>0\\ \alpha (exp(x)-1)ifx\le 0\end{array}\text{\hspace{1em}(7.1)}$$