【题解】CH5302 金字塔 区间DP+记忆化搜索
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描述
虽然探索金字塔是极其老套的剧情，但是有一队探险家还是到了某金字塔脚下。经过多年的研究，科学家对这座金字塔的内部结构已经有所了解。首先，金字塔由若干房间组成，房间之间连有通道。如果把房间看作节点，通道看作边的话，整个金字塔呈现一个有根树结构，节点的子树之间有序，金字塔有唯一的一个入口通向树根。并且，每个房间的墙壁都涂有若干种颜色的一种。
探险队员打算进一步了解金字塔的结构，为此，他们使用了一种特殊设计的机器人。这种机器人会从入口进入金字塔，之后对金字塔进行深度优先遍历。机器人每进入一个房间（无论是第一次进入还是返回），都会记录这个房间的颜色。最后，机器人会从入口退出金字塔。
显然，机器人会访问每个房间至少一次，并且穿越每条通道恰好两次（两个方向各一次）， 然后，机器人会得到一个颜色序列。但是，探险队员发现这个颜色序列并不能唯一确定金字塔的结构。现在他们想请你帮助他们计算，对于一个给定的颜色序列，有多少种可能的结构会得到这个序列。因为结果可能会非常大，你只需要输出答案对 1 0 9 10^9 109 取模之后的值。
输入格式
输入文件包含一行，一个字符串 S S S，长度不超过 300 300 300，表示机器人得到的颜色序列。
输出格式
输出一个整数表示答案。
样例输入
ABABABA
样例输出
5
样例解释
例如序列“ABABABA”对应5种金字塔结构，最底部是树根。我们认为子树之间是有序的，所以方案3和4是两种不同的方案。如书中图所示。
F [ l , r ] F[l,r] F[l,r] 表示子串 S [ l ∼ r ] S[l\sim r] S[l∼r] 对应着多少种可能的金字塔结构。枚举划分点 k k k，令子串 S [ l + 1 ∼ k − 1 ] S[l+1\sim k-1] S[l+1∼k−1] 构成 [ l , r ] [l,r] [l,r] 的第一棵子树， S [ k ∼ r ] S[k\sim r] S[k∼r] 构成 [ l , r ] [l,r] [l,r] 的剩余部分。状态转移方程：
F [ l , r ] = { 0 S [ l ] ≠ S [ r ] F [ l + 1 , r − 1 ] + ∑ l + 2 ≤ k ≤ r − 2 , s [ l ] = s [ k ] F [ l + 1 , k − 1 ] × F [ k , r ] , S [ l ] = S [ r ] F[l,r]=\begin{cases}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad0\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad S[l]\neq S[r]\\F[l+1,r-1]+\sum\limits_{l+2\leq k\leq r-2,s[l]=s[k]}F[l+1,k-1]\times F[k,r],\quad S[l]=S[r]\end{cases} F[l,r]=⎩⎨⎧0S[l]̸=S[r]F[l+1,r−1]+l+2≤k≤r−2,s[l]=s[k]∑F[l+1,k−1]×F[k,r],S[l]=S[r]
初值： ∀ l ∈ [ 1 , N ] , F [ l , l ] = 1 \forall l\in[1,N],F[l,l]=1 ∀l∈[1,N],F[l,l]=1，其余均为 0 0 0 。目标： F [ 1 , N ] F[1,N] F[1,N]
#include
#include
const int mod=1e9;
const int N=310;
int f[N][N],n;
char s[N];
int solve(int l,int r)
{
if(l>r)return f[l][r]=0;
if(l==r)return f[l][r]=1;
if(f[l][r]!=-1)return f[l][r];
f[l][r]=0;
for(int k=l+2;k<=r;k++)
if(s[l+1]==s[k-1]&&s[k]==s[r])
f[l][r]=(f[l][r]+(long long)solve(l+1,k-1)*solve(k,r))%mod;
return f[l][r];
}
int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
memset(f,-1,sizeof(f));
scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);
printf("%d\n",solve(1,n));
}
总结
记忆化搜索实现。对于方案计数类的动态规划问题，通常一个状态的各个决策之间满足加法原理，而每个决策划分的几个子状态之间满足乘法原理。一个状态的所有决策之间必须满足互斥性。