【每日一题Day243】LC1595连通两组点的最小成本 | 状态压缩dp

连通两组点的最小成本【LC1595】

给你两组点，其中第一组中有 size1 个点，第二组中有 size2 个点，且 size1 >= size2 。

任意两点间的连接成本 cost 由大小为 size1 x size2 矩阵给出，其中 cost[i][j] 是第一组中的点 i 和第二组中的点 j 的连接成本。**如果两个组中的每个点都与另一组中的一个或多个点连接，则称这两组点是连通的。**换言之，第一组中的每个点必须至少与第二组中的一个点连接，且第二组中的每个点必须至少与第一组中的一个点连接。

返回连通两组点所需的最小成本。

猛练状态压缩dp

dfs+回溯

• 思路

  每个点都需要跟另一个组的至少一个点连接，计算最小成本。那么我们可以枚举第一组第$i$个点与第2组哪个点连接。【先只保证第一组跟第二组中一个点连接，如果第二组有点没有连接，再将其和最小成本的点连接】。记录第二组点的连接状态，使用状态压缩dp解决。

• 实现

  class Solution {
      int n, m;
      int[][] memo;
      int[] minCost;
      List<List<Integer>> cost;
      public int connectTwoGroups(List<List<Integer>> cost) {
          this.n = cost.size();
          this.m = cost.get(0).size();
          this.memo = new int[n][1 << m];
          this.minCost = new int[m];
          this.cost = cost;
          Arrays.fill(minCost, Integer.MAX_VALUE);
          for (int i = 0; i < n; i++){
              Arrays.fill(memo[i], -1);
          }
          for (List<Integer> c : cost){
              for (int i = 0; i < m; i++){
                  minCost[i] = Math.min(minCost[i], c.get(i));
              }
          }
          
          return dfs(n - 1, 0);
      }
      public int dfs(int i, int mask){
          if (i < 0){// 寻找第二组未连接的点，将其与第一组中最小成本的点连接
              int res = 0;
              for (int j = 0; j < m; j++){
                  if (((mask >> j) & 1) == 0){
                      res += minCost[j];
                  }
              }
              return res;
          }
          if (memo[i][mask] != -1) return memo[i][mask];
          int res = Integer.MAX_VALUE;
          // 枚举第一组第i个点与第2组哪个点连接【先只保证第一组跟第二组中一个点连接，如果第二组有点没有连接，再将其和最小成本的点连接】
          for (int j = 0; j < m; j++){
              res = Math.min(res, dfs(i - 1, mask | (1 << j)) + cost.get(i).get(j)) ;
          }
          return memo[i][mask] = res;
      }
  }
  

  • 复杂度
    • 时间复杂度：$\mathcal{O}(nm{2}^m)$
    • 空间复杂度：$\mathcal{O}(n{2}^m)$

递推

• 实现：灵神

  class Solution {
      public int connectTwoGroups(List<List<Integer>> cost) {
          int n = cost.size(), m = cost.get(0).size();
          var minCost = new int[m];
          Arrays.fill(minCost, Integer.MAX_VALUE);
          for (int j = 0; j < m; j++)
              for (var c : cost)
                  minCost[j] = Math.min(minCost[j], c.get(j));
  
          var f = new int[n + 1][1 << m];
          for (int j = 0; j < 1 << m; j++)
              for (int k = 0; k < m; k++)
                  if ((j >> k & 1) == 1) // 第二组的点 k 未连接
                      f[0][j] += minCost[k]; // 去第一组找个成本最小的点连接
  
          for (int i = 0; i < n; i++) {
              for (int j = 0; j < 1 << m; j++) {
                  int res = Integer.MAX_VALUE;
                  for (int k = 0; k < m; k++) // 第一组的点 i 与第二组的点 k
                      res = Math.min(res, f[i][j & ~(1 << k)] + cost.get(i).get(k));
                  f[i + 1][j] = res;
              }
          }
          return f[n][(1 << m) - 1];
      }
  }
  
  作者：灵茶山艾府
  链接：https://leetcode.cn/problems/minimum-cost-to-connect-two-groups-of-points/solutions/2314687/jiao-ni-yi-bu-bu-si-kao-dong-tai-gui-hua-djxq/
  来源：力扣（LeetCode）
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  • 复杂度
    • 时间复杂度：$\mathcal{O}(nm{2}^m)$
    • 空间复杂度：$\mathcal{O}(n{2}^m)$