数学基础-标量,向量,张量

前言

数学中，如何描述事务，以棍子为例子：

1. 棍子的长度
2. 棍子方向
3. 棍子转向
4. …

标量

单纯的形容事务的一个特征，如果体积，长度。

向量

指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。

向量相加

$$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1+x_2\\ y_1+y_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2+3\\ 4+1\end{array}\right]$$

物量理解
两个不同方向与大小的力相汇，导致第三个力的产生

向量和常量相乘

$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\ast 2=\left[\begin{array}{c}2x\\ 2y\end{array}\right]$$

物理理解，
同一方向的力量加倍

向量相乘

向量相乘，分为点乘和积乘。

向量点乘（内积,点积）

$$a\ast b=x_1{x}_2+y_1{y}_2$$

物理理解：
用来表示力所作的功，即一个力（向量a），导致物业向一方向移动（向量b），所做的功
几何理解：
表示 （向量a）在 （向量b）方向上的投影与 （向量b）的乘积.

向量的夹角

两个向量中间的夹角
$$\cos \theta =\cos (\alpha -\beta )=\cos (\alpha )\cos (\beta )+\sin (\alpha )\sin (\beta )=\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}\ast \frac{x_2}{\sqrt{x_2^2+y_2^2}}+\frac{y_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}\ast \frac{y_2}{\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$$
$$\cos \theta =\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}=\frac{a\ast b}{|a||b|}$$

物理理解：
根据两个力的大小和方向，计算出中间的夹角

上述的a,b向量，只是在2维坐标系中，如果将坐标系转为n维度,即向量a为(x1,x2,x3…xn)向量b为(y1,y2,y3…yn)
$$\cos \theta =\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i\ast y_i)}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2}\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{y}_i^2}}$$

向量叉乘（外积,叉积）

两个矢量的叉积 a × b 是与这两个矢量垂直的 矢量

物理意义
力矩描述了力对物体产生的转动效应。当一个力作用于一个物体，并且该力不在物体质心上时，就会产生力矩。力矩使物体绕着某个轴线旋转或倾斜
即 用于F提接物体A，则有2个力，物体A向下的力M，和F向上的力。当F与M有角度，则必产转动，即力

张量

向量是描述的是一个坐标体系，多个维度的物理量。而张量描述在不同坐标系下，物理量不同分量，即张量给出了物理量各分量在坐标变换时的变换规律

标量、向量、张量之间的关系

标量是0阶张量，向量是一阶张量。举例：
标量就是知道棍子的长度，但是你不会知道棍子指向哪儿。
向量就是不但知道棍子的长度，还知道棍子指向前面还是后面。
张量就是不但知道棍子的长度，也知道棍子指向前面还是后面，还能知道这棍子又向上/下和左/右偏转了多少。

主要参考

《什么是张量(tensor)》
《什么是张量 (tensor)》