【算法】Greatest Sum Divisible by Three 可被三整除的最大和

Greatest Sum Divisible by Three 可被三整除的最大和

问题描述：

给你一个整数数组 nums，请你找出并返回能被三整除的元素最大和。

nums.length 范围[1,40000] ,$nums[i]$ 范围[1,10000]

分析

要从这个数组中找到一些数而且他们的和可以被3整除，还需要最大。
第一个思路就是BF，穷举所有的可能组合，然后check，从而找到结果。思路没问题，但是以穷举组合的方式，时间复杂度必然是指数级的。所以穷举的思路可以洗洗睡了。
观察要求，如果要满足和被3整除，那么可以把原数组的元素进行分类，每个元素对3求余，余数为0,1,2。余数为0的元素肯定是要全部累加的。剩余的就是1,2。
能想到这里的基本就完成一半了，为了达到最大，一定是从余数1和2中，挑最大的匹配，这样就可以得到更大的和。
求余就是为了拼凑被3整除，但是问题在于，此时余数1,2的元素，要怎么选。
记余数为1和2的数组分别为A,B，要做的就是从A中找X个，B中找Y个，$sumX+sumY$最大。
这种方案是不一定的，可能是从A中找出$X=3k$个元素满足被3整除最大，也可能是仅从B中找出$Y=6k$个元素被3整除最大，或者是A中出$k$个，B中出$k$个。$k>=1$.
当然也有可能不存在这样的方案。也就是当一个为空，或者是单独的一个数组不够构成被3整除的组合。
既然正向不容易，那就反过来思考。
把所有元素加和$sum$，$sum\mathrm{mod}3=k$,如果$k==0$,sum自己就是结果。如果$k==1$,说明sum要减掉一个余数为1的最小数，或者是去掉2个余数为2的最小数。
如果$k==2$,说明sum要减掉一个余数为2的最小数，或者是去掉2个余数为1的最小数。
这种做减法的策略，可以保证覆盖到所有的情况。

代码

class Solution {
    public int maxSumDivThree(int[] nums) {
        int sum = 0;
        for (int x : nums) {
            sum += x;
        }
        if (sum % 3 == 0) return sum;

        List<Integer> a1 = new ArrayList<Integer>();
        List<Integer> a2 = new ArrayList<Integer>();
        for (int x : nums) {
            if (x % 3 == 1) a1.add(x);
            else if (x % 3 == 2) a2.add(x);
        }
        Collections.sort(a1);
        Collections.sort(a2);

        if (sum % 3 == 2) { // swap(a1,a2)
            List<Integer> tmp = a1;
            a1 = a2;
            a2 = tmp;
        }
        int ans = a1.isEmpty() ? 0 : sum - a1.get(0);
        if (a2.size() > 1)
            ans = Math.max(ans, sum - a2.get(0) - a2.get(1));
        return ans;
    }
} 

时间复杂度O(NlogN)

空间复杂度O(N)

代码来源于灵神大佬，非常简洁，值得学习。

Tag

Greedy Array Dynamic Programming