《算法竞赛进阶指南》0x62 最小生成树
0x62 最小生成树
走廊泼水节
题意：
给定一棵树，将这棵树加边，扩充为完全图，使完全图的最小生成树为原来的树，询问增加的边权值总和最小是多少
解析：
考虑 kruskal 产生最小生成树的过程：选择当前连接两个连通块边权最小的边。
所以，对于最小生成树上的边，该边一定是两个连通块之间唯一的最短边，设该边权值为 w w w，则两个连通块之间的边权值一定大于 w w w，最小为 w + 1 w+1 w+1。
设树上边连接的两个连通块的大小分别为 s i z ( x ) , s i z ( y ) siz(x),siz(y) siz(x),siz(y)。则两个连通块之间有 s i z ( x ) × s i z ( y ) siz(x)\times siz(y) siz(x)×siz(y) 条边，其中有一条是树上的边。对答案的贡献为 ( s i z ( x ) × s i z ( y ) − 1 ) × ( w + 1 ) (siz(x)\times siz(y)-1) \times (w+1) (siz(x)×siz(y)−1)×(w+1)
代码：
#include野餐规划
题意：
求图的最小生成树，节点 1 1 1 的度最大为 s s s。
解析：
首先删去节点 1 1 1，原图变成 t t t 个连通块 ( t ≥ 1 ) (t \ge 1) (t≥1)。
注意到最小生成树的子树也一定是对应子图的最小生成树。所以在每个连通块中求出最小生成树。
然后把 1 1 1 节点向每个连通块选最小的边连边，得到一棵生成树，但这棵生成树不一定最小。
对一个连通块而言，可以增加一条 1 1 1 号节点连向该连通块的边，然后删去连通块的最小生成树上的一条边，有可能会使权值和更小。
可以求出一个连通块中到 1 1 1 号节点的路径上的边权最大值。枚举 1 1 1 号节点的边 ( 1 , p ) (1,p) (1,p) ，如果不在最小生成树上，则可以加边 ( 1 , p ) (1,p) (1,p)，删去边 ( u , v ) (u,v) (u,v)， ( u , v ) (u,v) (u,v) 是节点 p p p 到 节点 1 1 1 路径上边权最大的边。
直到节点 1 1 1 的度为 s s s，或者加边之后边权不会变小。
代码：
#include沙漠之王
题意：
边有成本和长度两个参数。求图的生成树，使边的总成本与边的总长度的比值最小
解析：
0/1分数规划。
设边的成本为 a i a_i ai，长度为 b i b_i bi。
设最小值的估计值为 L L L，答案为 M I N MIN MIN，判断是否存在一棵生成树，满足 ∑ ( a i − L × b i ) < 0 \sum(a_i-L\times b_i) < 0 ∑(ai−L×bi)<0。
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如果存在一棵生成树，使 ∑ ( a i − L × b i ) < 0 \sum(a_i-L\times b_i) < 0 ∑(ai−L×bi)<0 成立，变形得 ∑ a i ∑ b i < L \frac{\sum a_i}{\sum b_i} < L ∑bi∑ai<L。则 M I N < L MIN < L MIN<L
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如果对于任意生成树，都有 ∑ ( a i − L × b i ) ≥ 0 \sum(a_i-L\times b_i) \ge 0 ∑(ai−L×bi)≥0，即 ∑ a i ∑ b i ≥ L \frac{\sum a_i}{\sum b_i} \ge L ∑bi∑ai≥L ，则 M I N ≥ L MIN \ge L MIN≥L
L L L 关于解的存在具有单调性。所以可以二分这个 L L L，然后判断最小生成树的权值和是否大于零
代码：
#include黑暗城堡
题意：
求生成树的方案数，使该方案节点 1 1 1 与任意节点的距离 与 原图节点 1 1 1 与任意节点的最短距离相等
解析：
询问最短路径树的个数。
Dijkstra 求出单源最短路。然后枚举每一个节点，有多少条边到这个点的路径长度为最短路径。
代码：
#include