算法笔记-线段树合并

线段树合并

前置知识：权值线段树、动态开点

将两棵线段树的信息合并成一棵线段树。
可以新建一颗线段树保存原来两颗线段树的信息，也可以将第二棵线段树维护的信息加到第一棵线段树上。

前者的空间复杂度较高，如果合并之前的线段树不会再用到的话，可以将第二颗线段树的信息加到第一棵线段树上。

P4556 [Vani有约会]雨天的尾巴 /【模板】线段树合并

题意：

一棵树有 $n$ 个点。每次操作 $(x,y,z)$ 在路径 $(x,y)$ 上的每一个点放一个救济粮 $z$。询问每个点存放最多的是哪种救济粮

解析：

对于树上一条路径上的点进行相同的操作，可以想到树上差分。

然后统计每个点最多的东西，可以用权值线段树维护每种救济粮的数目。

因为将发放救济粮转化成树上差分，求答案的时候需要合并，所以从下向上合并线段树。

代码：

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
#define fi first
#define se second
#define debug(x) cerr << #x << ": " << (x) << endl
#define rep(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); i++)
const int maxn = 1e5+10;
const int maxm = 1e5+10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef pair<int, int> pii;


int head[maxn], tot;
struct edge{
	int to, nxt;
}e[maxn << 1];
struct node{
	int mcnt, id;
	int ls, rs;
}t[maxn * 60];
struct query{
	int x, y, z;
}q[maxn];

int cnt;
int n, m, MAX;
int rt[maxn], ans[maxn];
void add(int a, int b){
	e[++tot].nxt = head[a];
	e[tot].to = b;
	head[a] = tot;
}
int dep[maxn], siz[maxn], top[maxn], son[maxn], fa[maxn];
void dfs1(int u, int p){
	dep[u] = dep[p] + 1;
	siz[u] = 1;
	fa[u] = p;
	for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt){
		int v = e[i].to;
		if(v == p)
			continue;
		dfs1(v, u);
		siz[u] += siz[v];
		if(siz[v] > siz[son[u]])
			son[u] = v;
	}
}
void dfs2(int u, int tp){
	top[u] = tp;
	if(son[u])
		dfs2(son[u], tp);
	for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt){
		int v = e[i].to;
		if(v == fa[u] || v == son[u])
			continue;
		dfs2(v, v);
	}
}
int LCA(int u, int v){
	while(top[u] != top[v]){
		if(dep[top[u]] < dep[top[v]])
			swap(u, v);
		u = fa[top[u]];
	}
	return dep[u] < dep[v] ? u : v;
}
void pushup(int k){
	if(t[t[k].ls].mcnt >= t[t[k].rs].mcnt){
		t[k].mcnt = t[t[k].ls].mcnt;
		t[k].id = t[t[k].ls].id;
	}
	else{
		t[k].mcnt = t[t[k].rs].mcnt;
		t[k].id = t[t[k].rs].id;
	}
}
void update(int &k, int l, int r, int pos, int v){
	if(k == 0)
		k = ++cnt;
	if(l == r && l == pos){
		t[k].mcnt += v;
		t[k].id = l;
		return;
	}
	int mid = (l+r) >> 1;
	if(pos <= mid)
		update(t[k].ls, l, mid, pos, v);
	else
		update(t[k].rs, mid+1, r, pos, v);
	pushup(k);
}
void merge(int &a, int b, int l, int r){
	if(!a || !b){
		a = (!a ? b : a);
		return;
	}	
	if(l == r){
		t[a].mcnt += t[b].mcnt;
		t[a].id = l;
		return;
	}
	int mid = (l+r) >> 1;
	merge(t[a].ls, t[b].ls, l, mid);
	merge(t[a].rs, t[b].rs, mid+1, r);
	pushup(a);
}
void dfs(int u){
	for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt){
		int v = e[i].to;
		if(v == fa[u])
			continue;
		dfs(v);
		merge(rt[u], rt[v], 1, MAX);
	}
	if(t[rt[u]].mcnt != 0)
		ans[u] = t[rt[u]].id;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1, u, v; i < n; i++){
		cin >> u >> v;
		add(u, v);
		add(v, u);
	}
	dfs1(1, 0);
	dfs2(1, 1);
	
	for(int i = 1; i <= m; i++){
		cin >> q[i].x >> q[i].y >> q[i].z;
		MAX = max(MAX, q[i].z);
	}
	
	for(int i = 1; i <= m; i++){
		int u = q[i].x, v = q[i].y;
		int w = q[i].z;
		int lca = LCA(u, v);
		update(rt[u], 1, MAX, w, 1);
		update(rt[v], 1, MAX, w, 1);
		update(rt[lca], 1, MAX, w, -1);
		if(fa[lca])
			update(rt[fa[lca]], 1, MAX, w, -1);
	}
	dfs(1);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		cout << ans[i] << endl;
	
	return 0;
}

P1600 [NOIP2016 提高组] 天天爱跑步

题意：

一棵 $n$ 节点的树，有 $m$ 条路径，每个节点有参数 $w_i$。询问有多少条路径的第 $w_i+1$ 个点是节点 $i$。

解析：

对于每条路径 $(s,t)$，可以分成两条路径 $(s,lca)$ 和 $(lca,t)$，如果模拟这个过程的话，时间复杂度为 $O(nm)$ 不能接受。

换个角度考虑，对于每个点，有多少条路径会对该点产生贡献。

设节点 $i$ 的深度为 $de{p}_i$

设路径 $(s,t)$ 对节点 $u$ 产生贡献。

• $u$ 在 $(s,lca)$ 上。$de{p}_s-de{p}_u=w_u$
• $u$ 在 $(lca,t)$ 上。$de{p}_s+de{p}_u-2de{p}_{lca}=w_u$

即满足条件的路径会对节点 $u$ 有贡献。

考虑树上差分，在 $s$ 插入 $de{p}_s$，在 $t$ 处插入 $2de{p}_{lca}-de{p}_s$，在 $lca$ 处插入 $-de{p}_s$，在 $fa(lca)$ 处插入 $de{p}_s-2de{p}_{lca}$。后两者可以交换，然后线段树合并即可。

代码：

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
#define fi first
#define se second
#define debug(x) cerr << #x << ": " << (x) << endl
#define rep(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); i++)
const int maxn = 3e5+10;
const int maxm = 1e5+10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef pair<int, int> pii;

int head[maxn], cnt;
struct edge{
	int to, nxt;
}e[maxn << 1];
struct node{
	int v;
	int ls, rs;
}t[maxn * 60];
int n, m;
int rt[maxn], MAX, ans[maxn], w[maxn], tot;
void add(int a, int b){
	e[++cnt].nxt = head[a];
	e[cnt].to = b;
	head[a] = cnt;
} 
int siz[maxn], son[maxn], dep[maxn], fa[maxn], top[maxn];
void dfs1(int u, int p){
	dep[u] = dep[p]+1;
	siz[u] = 1;
	fa[u] = p;
	for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt){
		int v = e[i].to;
		if(v == p)
			continue;
		dfs1(v, u);
		siz[u] += siz[v]; 
		if(siz[v] > siz[son[u]])
			son[u] = v;
	}
}
void dfs2(int u, int tp){
	top[u] = tp;
	if(son[u])
		dfs2(son[u], tp);
	for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt){
		int v = e[i].to;
		if(v == son[u] || v == fa[u])
			continue;
		dfs2(v, v);
	}
}
int LCA(int u, int v){
	while(top[u] != top[v]){
		if(dep[top[u]] < dep[top[v]])
			swap(u, v);
		u = fa[top[u]];
	}
	return dep[u] < dep[v] ? u : v;
}
void update(int &k, int l, int r, int pos, int v){
	 if(k == 0)
	 	k = ++tot;
	if(l == r && l == pos){
		t[k].v += v;
		return;
	}
	int mid = (l+r) >> 1;
	if(pos <= mid)
		update(t[k].ls, l, mid, pos, v);
	else
		update(t[k].rs, mid+1, r, pos, v);
	return;
}
void merge(int &a, int b, int l, int r){
	if(!a || !b){
		a = (!a ? b : a);
		return;
	}
	if(l == r){
		t[a].v += t[b].v;
		return;
	}
	int mid = (l+r) >> 1;
	merge(t[a].ls, t[b].ls, l, mid);
	merge(t[a].rs, t[b].rs, mid+1, r);
}
int query(int k, int l, int r, int pos){
	if(!k)
		return 0;
	if(l == r)
		return t[k].v;
	int mid = (l+r) >> 1;
	if(pos <= mid)
		return query(t[k].ls, l, mid, pos);
	else
		return query(t[k].rs, mid+1, r, pos);
}
void dfs(int u){
	for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt){
		int v = e[i].to;
		if(v == fa[u])
			continue;
		dfs(v);
		merge(rt[u], rt[v], 1, MAX);
	}
	if(w[u] && n + dep[u] + w[u] <= MAX)
		ans[u] += query(rt[u], 1, MAX, n + dep[u] + w[u]);
	ans[u] += query(rt[u], 1, MAX, n + dep[u] - w[u]);
	
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	
	cin >> n >> m;
	MAX = n << 1;
	int u, v;
	for(int i = 1; i < n; i++){
		cin >> u >> v;
		add(u, v);
		add(v, u);
	}
	dfs1(1, 0);
	dfs2(1, 1);
	
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> w[i];
	for(int i = 1; i <= m; i++){
		cin >> u >> v;
		int lca = LCA(u, v);
		update(rt[u], 1, MAX, n + dep[u], 1);
		update(rt[v], 1, MAX, n + dep[lca] * 2 - dep[u], 1);
		update(rt[lca], 1, MAX, n + dep[u], -1);
		update(rt[fa[lca]], 1, MAX, n + dep[lca] * 2 - dep[u], -1);
	}
	dfs(1);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		cout << ans[i] << " ";
	cout << endl;
	return 0;
}

P3224 [HNOI2012]永无乡

题意：

有 $n$ 个节点，每个节点有互不相同的重要程度。两种操作：

• 在 $(x,y)$ 之间建桥
• 询问与节点 $x$ 所在连通块中重要程度排名第 $k$ 小的节点编号

解析：

查询第 $k$ 小，考虑权值线段树；维护联通性，考虑并查集。在合并两个连通块时，也合并权值线段树

代码：

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
#define fi first
#define se second
#define debug(x) cerr << #x << ": " << (x) << endl
#define rep(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); i++)
const int maxn = 3e5+10;
const int maxm = 1e5+10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef pair<int, int> pii;

struct node{
	int sum, id;
	int ls, rs;
}t[maxn * 60];
int rt[maxn];
int tot, n, m, q;
int fa[maxn];
int find(int x){
	return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}
int pushup(int k){
	t[k].sum = t[t[k].ls].sum + t[t[k].rs].sum;
}
void update(int &k, int l, int r, int pos, int idx){
	if(k == 0)
		k = ++tot;
	if(l == r){
		t[k].sum++;
		t[k].id = idx;
		return;
	}
	int mid = (l+r) >> 1;
	if(pos <= mid)
		update(t[k].ls, l, mid, pos, idx);
	else
		update(t[k].rs, mid+1, r, pos, idx);
	pushup(k);
}
void merge(int &a, int b, int l, int r){
	if(!a || !b){
		a = (a == 0 ? b : a);
		return;
	}
	if(l == r){
		t[a].sum += t[b].sum;
		return;
	}
	int mid = (l+r) >> 1;
	merge(t[a].ls, t[b].ls, l, mid);
	merge(t[a].rs, t[b].rs, mid+1, r);
	pushup(a);
}
int query(int a, int k, int l, int r){
	if(t[a].sum < k || !a)
		return 0;
	if(l == r)
		return t[a].id;
	int mid = (l+r) >> 1;
	int ans = 0;
	if(k <= t[t[a].ls].sum)
		ans = query(t[a].ls, k, l, mid);
	else
		ans = query(t[a].rs, k-t[t[a].ls].sum, mid+1, r);
	return ans;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1, p; i <= n; i++){
		fa[i] = i;
		cin >> p;
		update(rt[i], 1, n, p, i);
	}
	for(int i = 1, x, y; i <= m; i++){
		cin >> x >> y;
		int fx = find(x);
		int fy = find(y);
		fa[fy] = fx;
		merge(rt[fx], rt[fy], 1, n);
	}
	cin >> q;
	string op;
	for(int i = 1, x, y; i <= q; i++){
		cin >> op >> x >> y;
		if(op == "B"){
			int fx = find(x);
			int fy = find(y);
			if(fx == fy)
				continue;
			fa[fy] = fx;
			merge(rt[fx], rt[fy], 1, n); 
		}
		else if(op == "Q"){
			int fx = find(x);
			int res = query(rt[fx], y, 1, n);
			if(res == 0)
				cout << -1 << endl;
			else
				cout << res << endl;
		}
	}	
	return 0;
}