数学杂谈：三联角问题

• 数学杂谈：三联角问题
  • 1. 题目描述
  • 2. 解法
    • 1. 解题思路
    • 2. 具体解答
      • 1. n为奇数
      • 2. n为偶数
    • 3. 结论
  • 3. 参考链接

1. 题目描述

首先，我们先给出这道题目的具体描述如下：

如果甲胜乙，乙胜丙，丙胜甲，则称甲乙丙为一个友好组。问如果有20支球队进行单循环赛，其中友好组的个数最大值为多少？

这道题是我在B站上面看到的一个23年的金华十校联考的考题，本来只是感觉这道题目有点意思，就想玩一下，结果想了好一阵子都没有搞定，然后偶然间看到一个视频下面的一个评论：

20年前的国赛题→15年前的联赛二试题→8年前的一试填空题→现在的高考填空题

瞬间我人都傻了……

然后我去看了一下视频的具体内容，发现真就是02年的日本IMO竞赛的题目，原题目为：

(2002年日本数学奥林匹克试题) 有14人进行一种日本棋循环赛，每个人都与另外13人比赛一局，在比赛中无平局。如果三个人之间的比赛结果都是一胜一负，则称这三人是一个“三联角”，求三联角个数的最大值。

进一步地，这道题目还可以扩展为：

有$n$人进行一种循环赛，每个人都与另外$n-1$个人比赛一局，在比赛中无平局。如果三个人之间的比赛结果都是一胜一负，则称这三人是一个“三联角”，求三联角个数的最大值。

坦率地说，这道题本身大概率是不可能在生活和工作中真正有什么用了，不过看了一下这道题的解答，思路上倒是非常有意思，就还是在这里整理一下好了，就当扩展一下思维了LOL

2. 解法

1. 解题思路

这一题我最开始拿到题目的思路是当成数组题目来做，显然3人的情况$a_3=1$，然后试图给出一个$a_n$的递推表达式。

不过不幸的是，这个思路我是失败了，很难给出一个统一的递推关系表达式。

看了答案之后发现，这道题的核心思路是反着来的，也就是说：

• 要求三联角的最大个数，也就等同于求无法构成三联角的三元组的最小个数。
• 对于无法组成三联角的三元组，必有某一个元素同时大于剩余两个元素，因此，我们可以给出所有的无法构成三联角的三元组的数目的表达式。

综上，我们就可以通过不等式给出无法组成三联角的三元组的最小值了，进而，我们也就得到了三联角的最大个数。

当然，这个值是理论的最大值，为了严格求证，事实上我们还需要给出一组构造，确保给出的理论值可以取到。

下面，我们就来考察其具体的解答。

2. 具体解答

下面，我们来看一下这一道题的具体解答。

首先，我们给出循坏赛赛制下所有的三元组的个数：

$$S=C_n^3=\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}$$

我们不妨假设$n$个人的胜场次数是从大到小排列的，且第$i$个人的胜场数为$x_i$，则显然有：

$$\sum _{i=1}^n{x}_i=C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$$

此时，无法构成三联角的三元组的个数可以表示为：

$$T=\sum _{i=1}^n{C}_{x_i}^2=\sum _{i=1}^n\frac{x_i(x_i-1)}{2}=\frac{1}{2}(\sum _{i=1}^n{x}_i^2-\sum _{i=1}^n{x}_i)=\frac{1}{2}(\sum _{i=1}^n{x}_i^2-\frac{n(n-1)}{2})$$

因此，剩下的问题就只是说我们要求一下$T$的最小值即可，亦即，我们只需要求$\sum _{i=1}^n{x}_i^2$的最小值即可。

此时，我们考察柯西不等式：

$$\sum _{i=1}^n{x}_i^2\ge \frac{1}{n}(\sum _{i=1}^n{x}_i{)}^2=\frac{1}{n}\frac{n^2(n-1{)}^2}{4}=\frac{n(n-1{)}^2}{4}$$

等号当且仅当$x_1=\cdots =x_n$时取到。

此时由：
$$\sum _{i=1}^n{x}_i=\frac{n(n-1)}{2}$$

我们可以快速得到$x_1=\cdots =x_n=\frac{n-1}{2}$。

因此，当$n$为奇数时，上式可以直接取到，但是当$n$为偶数的情况下，上式无法直接取等号，因此，我们需要对$n$分奇偶进行一下讨论。

1. n为奇数

对于$n$为奇数的情况，由上述分析我们就能够得到，当$x_1=\cdots =x_n=\frac{n-1}{2}$时$T$就能够取到最小值。

因此，我们可以快速计算得到：

$$\begin{array}{rl}T& \ge \frac{1}{2}(\frac{n(n-1{)}^2}{4}-\frac{n(n-1)}{2})\\ & =\frac{1}{8}n(n-1)(n-3)\end{array}$$

因此，有三联角个数满足：

$$N=S-T\le \frac{n(n-1)(n-2)}{6}-\frac{n(n-1)(n-3)}{8}=\frac{n(n-1)(n+1)}{24}$$

最后，我们给出一个可行的构造，来证明等式可以取到即可。

这个构造其实也简单，我们只需要令这$n$个人站成一个圈，然后令第$i$个人都战胜其后续紧邻的$\frac{n-1}{2}$个人即可。

2. n为偶数

接下来，我们来看一下$n$为偶数的情况，此时，柯西不等式的等号无法取到，因为显然$\frac{n-1}{2}$并不是一个整数，而胜场次数必须是整数。

因此，我们不妨退而求其次，令所有人的胜场次数都尽可能靠近，不难用调整法证明，此时可以获得取得最小值。

不妨设某两个$x_i-x_j\ge 2$，我们将其进行调整，使得其变成$x_i^{\prime },x_j^{\prime }$，满足：

$$\{\begin{array}{rl}{x}_i^{\prime }+x_j^{\prime }& =x_i+x_j\\ x_i^{\prime }-x_j^{\prime }& \le 1\end{array}$$

不妨令$x_i+x_j=x_i^{\prime }+x_j^{\prime }=s$，则显然有$s\ge x_i>x_i^{\prime }\ge \frac{s}{2}\ge x_j^{\prime }>x_j\ge 0$。

此时有:

$$(x_i^2+x_j^2)-(x_i^{\prime 2}+x_j^{\prime 2})=2(x_i^{\prime }{x}_j^{\prime }-x_i{x}_j)=2(x_i^{\prime }-x_i)(s-x_i-x_i^{\prime })>0$$

因此，通过调整$x_i,x_j$尽可能接近，我们能够使得$T$取到最小值。

此时，不难求得，当有$n/2$个人获得$n/2$胜场，其余$n/2$个人获得$n/2-1$个胜场时$T$取到最小值：

$$T\ge \frac{1}{2}(\frac{n}{2}\cdot \frac{n^2}{4}+\frac{n}{2}\cdot \frac{(n-2{)}^2}{4}-\frac{n(n-1)}{2})=\frac{n(n-2{)}^2}{8}$$

进而，我们可以求得：

$$N=S-T\le \frac{n(n-1)(n-2)}{6}-\frac{n(n-2{)}^2}{8}=\frac{n(n-2)(n+2)}{24}$$

同样的，我们需要给出一组构造来证明上述等号是可以取到的。

而这个构造同样也并不复杂，我们只需要令前$n/2$个人都赢下来紧邻的后续$n/2$个人，而后一半的$n/2$个人都赢下紧邻的后续$n/2-1$个人即可。

3. 结论

综上，我们就可以得到上述问题的通解：

1. 当$n$为奇数的情况

   $$N=\frac{n(n-1)(n+1)}{24}$$

2. 当$n$为偶数的情况

   $$N=\frac{n(n-2)(n+2)}{24}$$

而回到我们原始的题目当中：

1. 金华模拟题

   $n=20$，因此答案为$\frac{18\times 20\times 22}{24}=330$。

2. 日本IMO竞赛题

   $n=14$，因此答案为$\frac{12\times 14\times 16}{24}=168$。

3. 参考链接

• https://www.bilibili.com/video/BV1ZN411w79u