MATLAB 之 Simulink 系统仿真实例和 S 函数的设计与应用

一、Simulink 系统仿真实例

• 下面的应用实例我们将分别采用不同建模方法为系统建模并仿真。
• 例如，有初始状态为 0 的二阶微分方程 $x^{\prime \prime }+0.2x^{\prime }+0.4x=0.2u(t)$，其中 $u(t)$ 是单位阶跃函数，对此我们尝试建立系统模型并仿真 。

1. 方法一

• 我们利用 Integrator（积分器）模块直接构造求解微分方程的模型。
• 我们将原微分方程改写为 $$x^{\prime \prime }=0.2u(t)-0.2x^{\prime }-0.4x$$
• $x^{\prime \prime }$ 经积分作用得 $x‘$，$x^{\prime }$ 再经积分模块作用就得 $x$，而 $x^{\prime }$ 和 $x$ 经代数运算又产生 $x^{\prime \prime }$，据此可以建立系统模型并仿真。步骤如下。
• （1） 利用 Simulink 模块库中的基本模块不难建立如下图所示的系统模型。

• 模型中各个模块说明如下。
• ① u(t) 输入模块：它的 Step time 被设置为 0，模块名称由原来的 Step 改为 u(t)。
• ② Gs 增益模块：增益参数 Gain 设置为 0.2。
• ③ Add 求和模块：其图标形状 Icon shape 设置为 rectangular，符号列表 List of signs 设置为 ±-。
• ④ Integrator 积分模块：参数不需要改变。
• ⑤ G1 和 G2 反馈增益模块：增益参数分别设置为 0.4 和 0.2，它们的方向翻转可借助快捷菜单中的 Rotate & Flip$⟶$Flip Block 命令或模型编辑窗口的 Diagram$⟶$Rotate & Flip$⟶$Flip Block 命令实现。
• （2） 设置系统仿真参数。打开 Configuration Parameters 窗口，把仿真的终止时间设置为 20s。
• （3） 仿真操作。双击示波器图标，打开示波器窗口。单击模型编辑窗口工具栏中的 Run 按钮，就可在示波器窗口中看到仿真结果的变化曲线，如下图所示。

2. 方法二

• 利用传递函数模块（Transfer Fcn）建模。
• 对方程 $x^{\prime \prime }+0.2x^{\prime }+0.4x=0.2u(t)$ 两边取 Laplace 变换，得 $$s^{2}X(s)+0.2sX(s)+0.4X(s)=0.2U(s)$$
• 经整理得传递函数 $$G(s)=\frac{X(s)}{U(s)}=\frac{0.2}{s^2+0.2s+0.4}$$
• 在 Continuous 模块库中有标准的传递函数（Transfer Fcn）模块可供调用，于是，就可以构建求解微分方程的模型并仿真。根据系统传递函数构建如下图所示的仿真模型。

• 模型中各个模块说明如下。
• （1） u(t) 模块：设置 Step time 为 0。
• （2） G(S) 模块：双击 Transfer Fcn 模块，打开参数设置对话框，在 Numerator coefficients 文本框中输入传递函数的分子多项式系数 [0.2]，在 Denominator coefficients 文本框中输入传递函数的分母多项式的系数 [1,0.2,0.4]，如下图所示。

• 以后的操作与方法 1 相同。

3. 方法三

• 利用状态方程模块（State-Space）建模。
• 若令 $x_1=x$，$x_2=x^{\prime }$，那么微分方程 $x^{\prime \prime }+0.2x^{\prime }+0.4x=0.2u(t)$ 可写成 $$x^{\prime }=\left[\begin{array}{c}{x}_1^{{}^{\prime }}\\ x_2^{{}^{\prime }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -0.4& -0.2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0.2\end{array}\right]u(t)$$
• 写成状态方程为 $$\{\begin{array}{c}{x}^{{}^{\prime }}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$
• 式中，$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -0.4& -0.2\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{c}0\\ -0.2\end{array}\right]$，$C=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]$，$D=0$。
• 在 Continuous 模块库中有标准的状态方程（State-Space）模块可供调用，于是，就可以构建求解微分方程的模型并仿真。根据系统状态方程构建如下图所示的仿真模型。

• 模型中各个模块说明如下：
• （1） u(t) 输入模块：它的 Step time 被设置为 0。
• （2） State-Space 模块：A、B、C、D 各文本框中依次输入 [0,1;-0.4,-0.2]、[0;0.2]、[1,0] 和 0，如下图所示。

• 后面的操作与方法 1 相同。

二、S 函数的设计与应用

• S 函数用于开发新的 Simulink 通用功能模块，是一种对模块库进行扩展的工具。S 函数可以采用 MATLAB 语言以及 C、C++、FORTRAN 等语言编写。
• 在 S 函数中使用文本方式输入公式、方程，非常适合复杂动态系统的数学描述，并且在仿真过程中可以对仿真进行更精确的控制。
• S 函数称为系统函数（System Function），采用非图形化的方式描述功能模块。
• MATLAB 语言编写的 S 函数可以充分利用 MATLAB 所提供的丰富资源，方便地调用各种工具箱函数和图形函数使用；
• C 语言编写的 S 函数可以实现对操作系统的访问，如实现与其他进程的通信和同步等。
• 非 MATLAB 语言编写的 S 函数需要用编译器生成 MEX 文件。

1. 用 MATLAB 语言编写 S 函数

• S 函数有固定的程序格式,可以从 Simulink 提供的 S 函数模板程序开始构建自己的 S 函数。

1.1 主程序

• S 函数主程序的引导语句如下：

function [sys,x0,str,ts]=fname(t,x,u,flag)

• 其中，fname 是 S 函数的函数名，t、x、u、flag 分别为仿真时间、状态向量、输入向量和子程序调用标志。 flag 控制在仿真的各阶段调用 S 函数的哪一个子程序，其含义和有关信息如下表所示。

取值	功能	调用函数名	返回参数
0	初始化	mdllnitializeSizes	sys 为初始化参数，x0、str、ts 如定义
1	计算连续状态变量的导数	mdlDerivatives	sys 返回连续状态
2	计算离散状态变量的更新	mdIUpdate	sys 返回离散状态
3	计算输出信号	mdlOutputs	sys 返回系统输出
4	计算下一个采样时刻	mdlGetTimeOfNextVarHit	sys 返回下一步仿真的时间
9	结束仿真任务	mdlTerminate	无

• Simulink 每次调用 S 函数时，必须给出这 4 个参数。sys、x0、str 和 ts 是 S 函数的返回参数。
• sys 是一个返回参数的通用符号，它得到何种参数取决于 flag 值。例如，flag=3 时，sys 得到的是 S 函数的输出向量值。
• x0 是初始状态值，如果系统中没有状态变量，x0 将得到一个空阵。
• str 仅用于系统模型同 S 函数 API（应用程序编程接口）的一致性校验。对于 M 文件 S 函数，它将被置成一个空阵。
• ts 是一个两列矩阵，一列是 S 函数中各状态变量的采样周期，另一列是相应的采样时间的偏移量。采样周期按递增顺序排列，ts 中的一行对应一个采样周期。对于连续系统，采样周期和偏移量都应置成 0。如果取采样周期为 -1，则将继承输入信号的采样周期。
• 此外，在主程序输入参数中还可以包括用户自定义参数表: pl，p2，…，pn，这也就是希望赋给 S 函数的可选变量，其值通过相应 S 函数的参数对话框设置，也可以在命令行窗口赋值。
• 于是 S 函数主程序的引导语句可以写成

function [sys,x0,str,ts]=fname(t,x,u,flag,pl,p2,…,pn)

• 主程序采用 switch-case 语句，引导 Simulink 到正确的子程序。

1.2 子程序

• M 文件 S 函数共有 6 个子程序，供 Simulink 在仿真的不同阶段调用，这些子程序的前缀为 mdl。
• 每一次调用 S 函数时，都要给出一个 flag 值，实际执行 S 函数中与该 flag 值对应的那个子程序。
• Simulink 在仿真的不同阶段，需要调用 S 函数中不同的子程序。
• （1） 初始化子程序 mdlInitializeSizes。子程序 mdlInitializeSizes 定义 S 函数参数，如采样时间、输入量、输出量、状态变量的个数以及其他特征。
• 为了向 Simulink 提供这些信息，在子程序 mdlInitializeSizes 的开始处，应调用 simsizes 函数，这个函数返回一个 sizes 结构，结构的成员 sizes.NumContStates、sizes.NumDiscStates、sizes.NumOutputs 和 sizes.NumInputs 分别表示连续状态变量的个数、离散状态变量的个数、输出的个数和输入的个数。这 4 个值可以置为 -1，使其大小动态改变。
• 成员 sizes.DirFeedthrough 是直通标志，即输入信号是否直接在输出端出现的标志，是否设定为直通，取决于输出是否为输入的函数，或者取样时间是否为输入的函数。1 表示 yes，0 表示 no。成员 sizes.NumSampleTimes 是模块采样周期的个数，一般取 1。
• 按照要求设置好的结构 sizes 用 sys=simsizes(sizes) 语句赋给 sys 参数。除了 sys 外，还应该设置系统的初始状态变量 x0、说明变量 str 和采样周期变量 ts。
• （2） 其他子程序。状态的动态更新使用 mdlDerivatives 和 mdIUpdate 两个子程序，前者用于连续状态的更新，后者用于离散状态的更新。这些函数的输出值，即相应的状态，均由 sys 变量返回。
• 对于同时含有连续状态和离散状态的混合系统，则需要同时写出这两个函数来分别描述连续状态和离散状态。
• 模块输出信号的计算使用 mdlOutputs 子程序，系统的输出仍由 sys变量返回。
• 一般应用中很少使用 flag 为 4 和 9 的情况，mdlGetTimeOfNextVarHit 和 mdlTerminate 两个子程序较少使用。

2. S 函数的应用

• 下面来看两个简单的 M 文件 S 函数例子。
• 例如，我们采用 S 函数实现 $y=nx$，即把一个输入信号放大 $n$ 倍。
• （1） 利用 MATLAB 语言编写 S 函数，程序如下。

%****************************************
%S函数timesn.m，其输出是输入的n倍
%****************************************
function [sys,x0,str,ts]=timesn(t,x,u,flag,n)
switch flag
    case 0
        [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes;         %初始化
    case 3
        sys=mdloutputs(t,x,u,n);                    %计算输出量
    case {1,2,4,9}
        sys=[];
    otherwise                                       %出错处理
        error(num2str(flag));
end
%****************************************
%mdlInitializesizes:当flag为0时进行整个系统的初始化
%******************** ********************
function [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes()       
%调用函数simsizes以创建结构sizes
sizes=simsizes;
%用初始化信息填充结构sizes
sizes.NumContStates=0;          %无连续状态
sizes.NumDiscStates=0;          %无离散状态
sizes.NumOutputs=1;             %有一个输出量
sizes.NumInputs=1;              %有一个输入信号
sizes.DirFeedthrough=1;         %输出量中含有输入量
sizes.NumSampleTimes=1;         %单个采样周期
%根据上面的设置设定系统初始化参数
sys=simsizes(sizes);
%给其他返回参数赋值
x0=[];                          %设置初始状态为零状态
str=[];                         %将str变量设置为空字符串
ts=[-1,0];                      %假定继承输入信号的采样周期
%初始化子程序结束
%****************************************
% mdlOutputs:当flag值为3时，计算输出量
%****************************************
function sys=mdloutputs(t,x,u,n)
sys=n*u;
%输出量计算子程序结束

• 将该程序以文件名 timesn.m 存盘。编好 S 函数后，就可以对该模块进行封装和测试了。
• （2） 模块的封装与测试。
• ① 建立 S-Function 模块和编写的S函数文件之间的联系。新建一个模型，向模型编辑窗口中添加 User-Defined Functions 子模块库中的 S-Function 模块、Sine Wave 模块和 Scope 模块，构建如下图所示的仿真模型。

• 在模型编辑窗口中双击 S-Function 模块打开如下图所示的参数对话框，在 S-functionname 编辑框中输入 S 函数名 timesn 在 S-function parameters 编辑框中输入外部参数 n。
• n 可以在 MATLAB 工作空间中用命令定义。如果有多个外部参数，参数之间用逗号分隔。

• ② 模型封装。其具体操作与子系统的封装类似。在模型编辑窗口选中 S-Function 模块，再选择 Diagram$⟶$Mask$⟶$Create Mask 命令，或按 Ctrl+M 键，打开封装编辑器，选择 Parameters & Dialog 选项卡，在左侧控件工具箱中单击 Edit 工具，往中间的 Dialog box 区域的控件列表中添加编辑框控件 #1，选中该控件后，在右侧的 Property editor 区域中，在 Name 栏输入 n，Prompt 栏输入 “放大倍数”，勾选 Evaluate 复选框，具体如下图所示。

- 设置完成后单击 OK 按钮。S 函数模块被封装后，双击它，则得到如下图所示的模块参数对话框。

• 当输入 n 的值为 10 时，得到的仿真结果如下图所示。

• 例如，我们采用 S 函数构造非线性分段函数 $$y=\{\begin{array}{cc}3\sqrt{x}& x<1\\ 3& 1\le x<3\\ 3-(x-3{)}^2& 3\le x<4\\ 2& 4\le x<5\\ 2-(x-5{)}^2& 5\le x<6\\ 1& x\ge 6\end{array}$$。
• （1） 利用 MTALAB 语言编写 S 函数，程序如下：

function [sys,x0,str,ts]=sfunction(t,x, u,flag)
switch flag
    case 0
        [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes;
    case 3
        sys=mdlOutputs(t,x,u);
    case {1,2,4,9}
        sys=[];
    otherwise
        error(['Unhandled flag=',num2str(flag)]);
end
function [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes
sizes=simsizes;
sizes.NumContStates=0;
sizes.NumDiscStates=0;
sizes.NumOutputs=1;
sizes.NumInputs=1;
sizes.DirFeedthrough=1;
sizes.NumSampleTimes=1;
sys=simsizes(sizes);
x0=[];
str=[];
ts=[0,0];
function sys=mdlOutputs(t,x,u)
if u<1
    sys=3*sqrt(u);
elseif u>=1&&u<3
    sys=3;
elseif u>=3&&u<4
    sys=3-(u-3)^2;
elseif u>=4&&u<5
    sys=2;
elseif u>=5&&u<6
    sys=2-(u-5)^2;
else
    sys=1;
end

• 将该程序以文件名 sfunction.m 存盘。
• （2） 模块的测试。向模型编辑窗口中添加 S-Function 模块，并在其参数设置对话框中输入 M 文件名 sfunction，构建如下图所示的仿真模型。

• 运行即可得到如下图所示的仿真结果。