学习笔记《Base of Calculus》

函数（Function）

函数在数学中为两集合间的一种对应关系：输入值集合中的每项元素皆能对应唯一一项输出值集合中的元素。例如实数x对应到其平方x²的关系就是一个函数，若以3作为此函数的输入值，所得的输出值便是9。

导数（Derivative）

导数（Derivative），也称为导函数，是微积分中的重要基础概念。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率（斜率）。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度

导数主要有两种写法，一种 Lagrange 的写法 f'(x)，另一种是 Liebniz 的写法 dy/dx

导数的基本概念解释：
https://www.youtube.com/watch?v=rAof9Ld5sOg
https://www.youtube.com/watch?v=ay8838UZ4nM

「求导」，归根结底就是利用假想出来的直角三角形，获得斜率的计算公式，然后将边长逼近到0的时候，所取得的值（好精妙的构思~）

带有幂、乘、除函数的求导规则介绍（power rule, product rule, quotient rule）：
https://www.youtube.com/watch?v=hCLfogkqzEk

微分（Differential）

微分学主要研究的是在函数自变量变化时如何确定函数值的瞬时变化率（导数或微商）。换言之，计算导数的方法就叫微分学。对一元函数来说，可微与可导是完全等价的概念，当自变量是多元变量时，导数的概念已经不适用了

微分学研究的是一个函数的导数的定义，性质和应用。求出导数的过程被称为求导。给定一个函数和定义域内的一个点，在那个点的导数描述了该函数在那一点附近的表现。通过找出一个函数定义域内每一点的导数，可以生成一个新的函数，叫做原函数的导函数，或者导数。以数学术语说，导数是输入一个函数，输出另一个函数的线性算子。这比许多初等代数里所学的过程更为抽象，初等代数里的函数常常是输入一个数，并输出另一个数。例如，如果在倍增函数中输入 3，则输出 6，和如果在平方函数中输入 3，则输出 9。但是，微分能把平方函数作为输入，这意味着微分利用平方函数的所有信息去产生另一个函数（生成的函数是倍增函数）。

一个微分方程的例子：
f'(x) + f(x) = x + 3

微分方程介绍的例子：
https://www.youtube.com/watch?v=MyUU3X1r9ak

积分（Integral）

积分是微分的逆运算，即从导数推算出原函数

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。