离散群的规范场

标准模型还有常见的规范场的规范对称都是由李群，也就是连续群来描述。从如何构造的最最简单的规范场的角度出发，似乎我们应该考虑更加简单的离散群。
与之对应的规范场怎样去理解呢？这个问题，对于凝聚态或是固体理论物理学家更感到熟悉一些，反而是对于高能的理论物理学家会觉得很新奇。

当物理直觉不够用的时候，就需要抽象的数学来帮忙。在量子力学里，我们用波函数描述粒子。确定波函数，不但要确定他的强度，还有确定他的相位。当规范场存在时，相位既和空间位置有关，也和群空间位置有关。所以这时候我们可以认为粒子是在一个空间还有群空间合成的一个大空间里移动，这个大空间就是纤维从。
简单来说，纤维从就是由两个空间合成的的一个大的复合空间。规范场是纤维从的联络，就是描述，当粒子在空间移动的时候，对应在群空间怎么移动。我们就可以用类似的概念理解离散的规范场。

我们考虑一个最最简单的情况，在一维环形空间的Z2 规范场。Z2对称可以理解为镜像对称的对称群，里面只有两个生成元：1还有-1，如果用乘法的概念。
我们纤维从就是2个环，在一个环上，群空间去1，在另一个环上群空间取-1。而规范场就是一些 可以取 1 或 -1 的结点。当粒子跨过1的结点时候，什么都不发生，但是跨过-1的结点的时候，就会从现在的环跳到另一个环上。当有2个-1 的结点的时候，他们可以融合成一个1的结点。
所以最后我们只有两种可能的规范场，一种是只有1的结点，粒子在这个构型移动的时候，不会跳跃，所以相位空间这时候其实不在依赖群空间。
还一种是存在一个-1的结点，所以粒子会发生跳跃，所以在个构型有一个不连续点。粒子运动需要在移动2圈才能回到最初的状态，我们既可以认为粒子是自旋1/2, 或者认为粒子带有-1的Z2电荷。这里我们就发现 Z2对称和自旋结构的一个对偶。实际上这个对偶是真实存在的。具体的例子就是，2维的Ising模型通过Jordan Weigner变化等价于一个Majorana粒子系统。