八数码的八境界

以下理论部分转自http://www.cnblogs.com/goodness/archive/2010/05/04/1727141.html,自己就是一步一个境界地做,把每境界的代码记录下来。

 

研究经典问题,空说不好,我们拿出一个实际的题目来演绎。八数码问题在北大在线测评系统中有一个对应的题,题目描述如下(POJ 1077):

Eight

Time Limit: 1000MS    Memory Limit: 65536K  Special Judge

Description                                 

The 15-puzzle has been aroundfor over 100 years; even if you don't know it by that name, you've seen it. Itis constructed with 15 sliding tiles, each with a number from 1 to 15 on it,and all packed into a 4 by 4 frame with one tile missing. Let's call themissing tile 'x'; the object of the puzzle is to arrange the tiles so that theyare ordered as:

 1 2  3  4

 5 6  7  8

 9  10 1112

 13 14 15 x

where the only legal operationis to exchange 'x' with one of the tiles with which it shares an edge. As anexample, the following sequence of moves solves a slightly scrambled puzzle:

 1 2  3  4    1  2 3  4    1 2  3  4   1  2  3  4

 5 6  7  8   5  6  7 8    5  6 7  8    5 6  7  8

 9  x 1012    9 10  x 12   9 10 11 12    9 10 11 12

13 14 11 15   13 14 11 15  13 14  x 15   13 14 15 x

           r->           d->           r->

The letters in the previousrow indicate which neighbor of the 'x' tile is swapped with the 'x' tile ateach step; legal values are 'r','l','u' and 'd', for right, left, up, and down,respectively.

Not all puzzles can be solved;in 1870, a man named Sam Loyd was famous for distributing an unsolvable versionof the puzzle, and

frustrating many people. Infact, all you have to do to make a regular puzzle into an unsolvable one is toswap two tiles (not counting the missing 'x' tile, of course).

In this problem, you willwrite a program for solving the less well-known 8-puzzle, composed of tiles ona three by three arrangement.

Input

You will receive a descriptionof a configuration of the 8 puzzle. The description is just a list of the tilesin their initial positions, with the rows listed from top to bottom, and thetiles listed from left to right within a row, where the tiles are representedby numbers 1 to 8, plus 'x'. For example, this puzzle

 1 2  3

 x 4  6

 7 5  8

is described by this list:

 1 2 3 x 4 6 7 5 8

Output

You will print to standardoutput either the word ``unsolvable'', if the puzzle has no solution, or astring consisting entirely of the letters 'r', 'l', 'u' and 'd' that describesa series of moves that produce a solution. The string should include no spacesand start at the beginning of the line.

Sample Input

 2 3  4  1 5  x  7 6  8

Sample Output

ullddrurdllurdruldr

 

  这个题目是SpecialJudge,任意找出一组移法就行,但是很多时候,我们需要找到步数最少的移法,所以,这里以步数最少的移法为目的。真正优化这个问题涉及到很多,比如A*、全排列哈希、堆优化等。一境界一代码,咱们一个境界一个境界走,慢慢优化这个经典问题,当然,我不是那么无聊,不会把所有境界都列出代码……

 

  境界一、 暴力BFS+STL

  开始的时候,自然考虑用最直观的广搜,因为状态最多不超过40万,计算机还是可以接受的,由于广搜需要记录状态,并且需要判重,所以可以每次图的状态转换为一个字符串,然后存储在stl中的容器set中,通过set的特殊功能进行判重,由于set的内部实现是红黑树,每次插入或者查找的复杂度为Log(n),所以,如果整个算法遍历了所有状态,所需要的复杂度为n*Log(n),在百万左右,可以被计算机接受,由于对string操作比较费时,加上stl全面性导致 速度不够快,所以计算比较费时,这样的代码只能保证在10秒内解决任何问题。但,明显效率不够高。POJ上要求是1秒,无法通过。

  (此步我跳过了直接从境界二开始。。。)

  境界二、BFS+哈希

  考虑到费时主要在STL,对于大规模的遍历,用到了STL的set和string,在效率上的损失是很大的,因此,现在面临一个严重的问题,必须自己判重,为了效率,自然是自己做hash。有点麻烦,hash函数不好想,实际上是9!种排列,需要每种排列对应一个数字(其实就是康托展开)。而其他值都在0 到(9!-1) 中,且均唯一。然后去掉一切STL之后,甚至包括String之后,得到单向广搜+Hash的代码,算法已经可以在三秒钟解决问题,可是还是不够快!POJ时限是1秒,后来做了简单的更改,将路径记录方法由字符串改为单个字符,并记录父节点,得到解,这次提交,266ms是解决单问题的上限。当然,还有一个修改的小技巧,就是逆序对数不会改变,通过这个,可以直接判断某输入是否有可行解。由于对于单组最坏情况的输入,此种优化不会起作用,所以不会减少单组输入的时间上限。

  (我自己没做任何优化......第二境界TLE代码:)

  

View Code
#include <fstream>

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstdlib>

#include <cmath>

#include <iomanip>

#include <iomanip>

#include <climits>

#include <vector>

#include <stack>

#include <queue>

#include <list>

#include <set>

#include <map>

#include <algorithm>

#include <string>

#include <cstring>



using namespace std;



string pur;

string s;

char path[400000];

int hash[400000];

bool vis[400000];

int cantor[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800,39916800};



int Can(string puzz,int psize)           //psize puzz集合的大小

{

    int ct = 0;

    for(int i = 0; i < psize-1; i++){

        int tmp = 0;

        for(int j = i + 1; j < psize; j++){

            if( puzz[j] < puzz[i]) tmp++;

        }

        ct += tmp * cantor[psize-i-1];

    }

    return ct;

}



void bfs()

{



    memset(vis,0,sizeof(vis));

    memset(path,0,sizeof(path));

    queue < string > Q;

    while(!Q.empty())

        Q.pop();

    Q.push(s);

    vis[Can(s,9)]=1;

    while(!Q.empty())

    {

        string s1=Q.front();

        if (s1==pur)    break;

        Q.pop();

        for (int i=0;i<9;i++)

            if (s1[i]=='9')

            {

                if (i-3>=0)

                {

                    string temp=s1;

                    temp[i]=s1[i-3];

                    temp[i-3]=s1[i];

                    if (!vis[Can(temp,9)])

                    {

                        Q.push(temp);

                        vis[Can(temp,9)]=1;

                        path[Can(temp,9)]='u';

                        hash[Can(temp,9)]=Can(s1,9);

                    }

                }

                if (i+3<9)

                {

                    string temp=s1;

                    temp[i]=s1[i+3];

                    temp[i+3]=s1[i];

                    if (!vis[Can(temp,9)])

                    {

                        Q.push(temp);

                        vis[Can(temp,9)]=1;

                        path[Can(temp,9)]='d';

                        hash[Can(temp,9)]=Can(s1,9);

                    }

                }

                if (i/3==(i+1)/3)

                {

                    string temp=s1;

                    temp[i]=s1[i+1];

                    temp[i+1]=s1[i];

                    if (!vis[Can(temp,9)])

                    {

                        Q.push(temp);

                        vis[Can(temp,9)]=1;

                        path[Can(temp,9)]='r';

                        hash[Can(temp,9)]=Can(s1,9);

                    }

                }

                if ((i)/3==(i-1)/3)

                {

                    string temp=s1;

                    temp[i]=s1[i-1];

                    temp[i-1]=s1[i];

                    if (!vis[Can(temp,9)])

                    {

                        Q.push(temp);

                        vis[Can(temp,9)]=1;

                        path[Can(temp,9)]='l';

                        hash[Can(temp,9)]=Can(s1,9);

                    }

                }





            }

    }



    string k;

    k.clear();

    int p=Can(pur,9);

    if (!vis[p])

    {

        cout<<"unsolvable"<<endl;

        return ;

    }



    while(p!=Can(s,9))

    {

        k+=path[p];

        p=hash[p];

    }

    string ans;

    ans.clear();

    for (int i=k.size()-1;i>=0;i--)

        ans+=k[i];

    cout<<ans<<endl;

    return ;

}



int main()

{

    pur="123456789";

    s.clear();

    string a;

    //while(getline(cin,a))

    //{

    getline(cin,a);

    for (size_t i=0;i<a.size();i++)

    {

        if (a[i]=='x') a[i]='9';

        if (a[i]!=' ')

            s+=a[i];

    }

    bfs();

    //}

    return 0;

}

 

 

 

   境界三、BFS+哈希+打表

  好,问题可以在200—300ms间解决,可是,这里我们注 意到一个问题,最坏情况下,可能搜索了所有可达状态,都无法找到解。如果这个题目有多次输入的话,每次都需要大量的计算。其实,这里可以从反方向考虑下,从最终需要的状态,比如是POJ 1077需要的那种情况,反着走,可达的情况是固定的。可以用上面说的那种相应的Hash的方法,找到所有可达状态对应的值,用一个bool型的表,将可达状态的相应值打表记录,用“境界三”相似的方法记录路径,打入表中。然后,一次打表结束后,每次输入,直接调用结果!这样,无论输入多少种情况,一次成功,后面在O(1)的时间中就能得到结果!这样,对于ZOJ的多组输入,有致命的帮助!此境界代码改动不大,不再给出,下同。

 

  境界四、双向广搜+BFS
  Hash,不再赘述,现在,我们来进行进一步的优化,为了减少状态的膨胀,自然而然的想到了双向广搜,从输入状态点和目标状态1 2 3 4 5 6 7 8 9同时开始搜索,当某方向遇到另一个方向搜索过的状态的时候,则搜索成功,两个方向对接,得到最后结果,如果某方向遍历彻底,仍然没有碰上另一方向,则无法完成,代码不再给出,原因见上……

 

  境界五、A*+哈希+简单估价函数
  用到广搜,就可以想到能用经典的A*解决,用深度作为g(n),剩下的自然是启发函数了。对于八数码,启发函数可以用两种状态不同数字的数目。接下来就是A*的套路,A*的具体思想不再赘述,因为人工智能课本肯定比我讲的清楚。但是必须得注意到,A*需要满足两个条件:

1.h(n)>h'(n),h'(n)为从当前节点到目标点的实际的最优代价值。

2.每次扩展的节点的f值大于等于父节点的f值小。

自然,我们得验证下我们的启发函数,h验证比较简单不用说,由于g是深度,每次都会较父节点增1。再看h,认识上, 我们只需要将h看成真正的“八数码”,将空格看空。这里,就会发现,每移动一次,最多使得一个数字回归,或者说不在位减一个。 h最多减小1,而g认为是深度,每次会增加1。所以,f=g+h, 自然非递减,这样,满足了A*的两个条件,可以用A*了!此境界代码也不列出,因为后几个加了优化的代码,是此境界的父集,或者说升级版。既然逻辑上一样,我们就只给出级别最高的。

  境界六、A*+哈希+曼哈顿距离

  A*的核心在启发函数上,境界五若想再提升,先想到的是启发函数。这里,曼哈顿距离可以用来作为我们的启发函数。曼哈顿距离听起来神神秘秘,其实不过是“绝对轴距总和”,用到八数码上,相当与将所有数字归位需要的最少移动次数总和。作为启发函数,自然需要满足“境界五”提到的那两个条件。现在来看这个曼哈顿距离,第一个条件自然满足。对于第二个,因为空格被我们剥离出去,所以交换的时候只关心交换的那个数字,它至多向目标前进1,而深度作为g每次是增加1的,这样g+h至少和原来相等,那么,第二个条件也满足了。A*可用了,而且,有了个更加优化的启发函数。因为还可以升级,所以……代码不给出。

 

  境界七、A*+哈希+曼哈顿距离+小顶堆

  经过上面优化后,我们发现了A*也有些鸡肋的地方,因为需要每次找到所谓Open表中f最小的元素,如果每次排序,那么排序的工作量可以说是很大的,即使是快排,程序也不够快!这里,可以想到,由于需要动态的添加元素,动态的得到程序的最小值,我们可以维护一个小顶堆,这样的效果就是。每次取最小元素的时候,不是用一个n*Log(n)的排序,而是用log(n)的查找和调整堆,好,算法又向前迈进了一大步。这里,我们终于要给出代码了,代码参见Code3.Cpp。

 

  境界八、IDA*+曼哈顿距离

  IDA*即迭代加深的A*搜索,实现代码是最简练的,无须状态判重,无需估价排序。那么就用不到哈希表,堆上也不必应用,空间需求变的超级少。效率上,应用了曼哈顿距离。同时可以根据深度和h值,在找最优解的时候,对超过目前最优解的地方进行剪枝,这可以导致搜索深度的急剧减少,所以,这,是一个致命的剪枝!因此,IDA*大部分时候比A*还要快,可以说是A*的一个优化版本!代码参见Code4.cpp。到此,到了我的境界八……请老师再将境界进行升级……还有,前文中也许会有很多疏漏之处,望老师给以修正。

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