Cordic算法

Cordic算法可以利用简单的移位和加减来计算复杂的三角函数、双曲函数、对数、指数等。

Cordic算法核心思想有两点，通过已知的角度来逼近输入的角度(用移位来代替tanθ)，已知角度的cosθ经过多次积累相乘趋于常数。具体原理如下。

根据坐标旋转公式

x2=x1cosθ-y1sinθ

y2=x1sinθ+y1cosθ

提取出cosθ

x2=cosθ(x1-y1tanθ)

y2=cosθ(y1+x1tanθ)

上式为一次旋转，那么通过已知的角度，来逼近输入的角度，就需要多次旋转，也就是该公式要迭代多次。

经过多次迭代后，cosθ会积累相乘并趋于一个常数

cos45°x cos26.5°x…xcos0.028°x cos0.014°≈0.60725941

1/0.60725941≈1.64676024187

将该常数定义为Kn

Kn=∏1/cosθi=

将tanθ用移位来代替，即

tanθ=2-i

x2= cosθ(x1-y12-i)

y2= cosθ(y1+x12-i)

θ=arctan(2-i)

利用反正切可以计算出已知的角度值，matlab代码如下。

clear; close all; clc;
for i=0:15
	theta = rad2deg( atan(2^(-i)) );
	fprintf('theta=%.9f\ttan=%.9f\n',theta,2^(-i))
end

xn=Kn(x0cosz0 – y0sinz0)

yn=Kn(y0cosz0 + x0sinz0)

zn=0

当x0=1/Kn，y0=0时，消掉了y0sinz0和y0cosz0，那么 n次迭代后，x0的1/Kn与Kn相乘为1，有：

Xn=cosz0

Yn=sinz0

Matlab代码如下

clear; close all; clc;

for i=0:15
	theta = rad2deg( atan(2^(-i)) );
	fprintf('i=%d \ttheta=%.9f\ttan=%.9f \tcos=%.9f \tsin=%.9f\n',i,theta,2^(-i),cosd(theta),sind(theta))
	% fprintf('%.9f \t tan*2^16=%.0f\n',theta, (2^16) * theta)
end

n = 16;
kn = 1;
for i=0:n
	kn = kn*sqrt(1+2^(-2*i));
end
fprintf('\nkn=%.9f\t1/kn=%.9f\t\n',kn,1/kn)

x = zeros(n+1);
y = zeros(n+1);
z = zeros(n+1);
x(1) = 1/kn;
z(1) = pi/6; %输入的角度

for i=1:n
	if(z(i) >= 0)
		s = 1;
	else
		s = -1;
	end
	x(i+1) = x(i) - s*y(i)*(2^(-(i-1)));
	y(i+1) = y(i) + s*x(i)*(2^(-(i-1)));
	z(i+1) = z(i) - s*atan(2^(-(i-1)));
end

cos_theta = x(17) %计算出cos
sin_theta = y(17) %计算出sin
theta = z(17) %zn趋于0

由以上已知角度可以看出计算的最大角度为45°+26.5°+ ... +0.028°+0.014°，最小角度为-45°-26.5°- ... -0.028°-0.014°，即计算范围为-99.8°~+99.8°。

如果计算的角度超出-99.8°~+99.8°，则需要利用三角函数的对称性来换算。

第一象限：Sin(θ)=Sinθ,             Cos(θ)=Cosθ
第二象限：Sin(θ+90)=Cosθ,      Cos(θ+90)=-Sinθ
第三象限：Sin(θ+180)=-Sinθ,    Cos(θ+180)=-Cosθ
第四象限：Sin(θ+270)=-Cosθ,   Cos(θ+270)=Sinθ

在QuestaSim中仿真结果如下：