相机标定--内参之绝对圆锥曲线

原文链接：https://blog.csdn.net/yhl_leo/article/details/49357087

绝对圆锥曲线

在进一步了解相机标定前，有必要了解绝对圆锥曲线（Absolute Conic）这一概念。

我们定义一个假象的平面，这个平面在三维空间中处于无穷远处，对于一个3D空间的点，其齐次坐标为：。如果这个点在平面内，则应当满足。

再做一条假设，在三维空间中任意平面中的圆，它在平面上的投影都必经过两个点，这两个点叫circle points，这也是为什么在一平面内确定一个圆只需要3个点，而确定其他二次曲线需要5个点。那么，三维空间中任一个圆在平面处的circle points组成了绝对圆锥曲线Absolute Conic，记作。

由平面和绝对圆锥曲线的性质可得, 上的点满足

                                                   
即。读至此处，我们发现不管是和，都是存粹想象出来的，很难在实际生活里找到实例，但是科学就是这么迷人，给定一个起始点，想象和求知探索的渴求却不受其限制，直至永无止境。

此时，或许我们会困惑，为什么要费尽心机想象出绝对圆锥曲线呢？原因在于绝对圆锥曲线所具有的一条重要特性：对于刚体变换具有不变性，这么说是不是有点不明觉厉，那就继续往下看。

首先简单讲一下刚体变换：只有物体的位置（平移变换）和朝向（旋转变换）发生改变，而形状不变，得到的变换称为刚体变换。以三维刚体变换为例：

                                                             
或者表述为： 
                                              或者 

令，对于位于绝对圆锥曲线上的点，刚体变换后的点可表示为：

                                                      
则很明显也是位于无穷远平面上的点，而且是位于同一绝对圆锥曲线上点：

                                           
令绝对圆锥曲线在成像平面对应的图像称为，也被简记为IAC（Image of the absolute conic），当然这也是想象出来的~于是对于上的任一点，其成像点满足：

                                                     
                                                 
因此，绝对圆锥曲线的成像构成一个虚构曲线，这个虚拟曲线由决定，这与相机的外参完全无关，而仅仅由相机内参决定。可以设想，如果我们找到了绝对圆锥曲线通过相机所成的图像，那就可以求解出相机内参。至此，我想大家也就明白为什么会提出Absolute Conic这一概念了吧。事实上，这一理论在相机自检校标定法（Self-calibration）中作为基础理论，十分重要。

后续文章将会为大家介绍几种确定绝对圆锥曲线对应的图像的方法。