相机标定--内参之绝对圆锥曲线

原文链接:https://blog.csdn.net/yhl_leo/article/details/49357087

绝对圆锥曲线

在进一步了解相机标定前,有必要了解绝对圆锥曲线(Absolute Conic)这一概念。

我们定义一个假象的平面\Pi _{_{\infty }},这个平面在三维空间中处于无穷远处,对于一个3D空间的点X,其齐次坐标为:X=[x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}]^{T}。如果这个点在平面\Pi _{_{\infty }}内,则应当满足x_{4}=0

再做一条假设,在三维空间中任意平面中的圆,它在平面\Pi _{_{\infty }}上的投影都必经过两个点c_{1}=(1,\vec{i},0), c_{2}=(1,-\vec{i},0),这两个点叫circle points,这也是为什么在一平面内确定一个圆只需要3个点,而确定其他二次曲线需要5个点。那么,三维空间中任一个圆在平面\Pi _{_{\infty }}处的circle points组成了绝对圆锥曲线Absolute Conic,记作\Omega

由平面\Pi _{_{\infty }}和绝对圆锥曲线\Omega的性质可得, \Omega上的点X=[x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}]^{T}满足

                                                   \left\{\begin{matrix} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} = 0 & \\ x_{4} = 0 & \end{matrix}\right.
X^{T}X=0。读至此处,我们发现不管是\Pi _{_{\infty }}\Omega,都是存粹想象出来的,很难在实际生活里找到实例,但是科学就是这么迷人,给定一个起始点,想象和求知探索的渴求却不受其限制,直至永无止境。

此时,或许我们会困惑,为什么要费尽心机想象出绝对圆锥曲线呢?原因在于绝对圆锥曲线所具有的一条重要特性:对于刚体变换具有不变性,这么说是不是有点不明觉厉,那就继续往下看。

首先简单讲一下刚体变换:只有物体的位置(平移变换)和朝向(旋转变换)发生改变,而形状不变,得到的变换称为刚体变换。以三维刚体变换为例:

                                                             x=[R , t]X
或者表述为: 
                                           x=RX + t   或者 x=R(x+C)

H=\begin{bmatrix} R & t \\ 0& 1\end{bmatrix},对于位于绝对圆锥曲线\Omega上的点x_{\Omega }=\begin{bmatrix} x_{\infty}\\ 0 \end{bmatrix},刚体变换后的点x_{\Omega }^{'}可表示为:

                                                      x_{\Omega }^{'}=Hx_{\Omega }=\begin{bmatrix} Rx_{\infty }\\ 0 \end{bmatrix}
x_{\Omega }^{'}很明显也是位于无穷远平面\Pi _{_{\infty }}上的点,而且是位于同一绝对圆锥曲线\Omega上点:

                                           x_{\Omega }^{'T}x_{\Omega }^{'}=(Rx_{\infty })^{T}(Rx_{\infty })=x_{\infty }^{T}R^{T}Rx_{\infty }=0
令绝对圆锥曲线\Omega在成像平面对应的图像称为w,也被简记为IAC(Image of the absolute conic),当然这也是想象出来的~于是对于\Omega上的任一点x_{\infty },其成像点m_{\infty }满足:

                                                     m_{\infty }=sK[R|t]\begin{bmatrix} x_{\infty }\\ 0 \end{bmatrix}=sKRx_{\infty }
                                                 m_{\infty }^{T}K^{-T}K^{-1}m_{\infty }=s^{2}x_{\infty}^{T}R^{T}Rx_{\infty}=0
因此,绝对圆锥曲线的成像构成一个虚构曲线,这个虚拟曲线由K^{-T}K^{-1}决定,这与相机的外参完全无关,而仅仅由相机内参决定。可以设想,如果我们找到了绝对圆锥曲线通过相机所成的图像,那就可以求解出相机内参。至此,我想大家也就明白为什么会提出Absolute Conic这一概念了吧。事实上,这一理论在相机自检校标定法(Self-calibration)中作为基础理论,十分重要。

后续文章将会为大家介绍几种确定绝对圆锥曲线\Omega对应的图像w的方法。
 

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