无向图的深度优先遍历与广度优先遍历
简介
深度优先遍历（Depth-First Search，DFS）和广度优先遍历（Breadth-First Search，BFS）是图遍历算法中常用的两种方法。它们可以用于搜索和遍历图中的顶点，每种方法都有其独特的特点和应用场景。
深度优先遍历
深度优先遍历是一种递归的遍历算法，它从图的某个顶点开始，沿着一条路径尽可能深入地访问顶点，直到无法继续深入为止，然后回溯到上一个顶点，继续访问其他未被访问的顶点，直到所有顶点都被访问完毕。
思路解析：
1. 创建一个visited数组，用于记录顶点是否被访问。
2. 从graph中第一个未被访问顶点v0开始
3. 查找v0的第一个未被访问的邻接点，访问该顶点，并以该顶点为新顶点，依此循环，直到没有未被访问的邻接点。
4. 回到前一个访问过的仍有未被访问的邻接点，继续访问。
5. 重复步骤2，3，直至所有顶点均被访问。
递归实现
示例代码：
#include
#include
using namespace std;
void dfs(vector> &graph, vector &visited, int vertex) {
visited[vertex] = true;
for (int i = 0; i < graph[vertex].size(); i++) {
int neighbor = graph[vertex][i];
if (!visited[neighbor]) {
dfs(graph, visited, neighbor);
}
}
}
void dfsTraversal(vector> &graph) {
int numVertices = graph.size();
vector visited(numVertices, false);
for (int i = 0; i < numVertices; i++) {
if (!visited[i]) {
cout << "connected components:";
dfs(graph, visited, i);
cout << endl;
}
}
}
int main() {
vector> graph = {
{1, 2},
{0},
{0},
{4},
{5},
{4}
};
dfsTraversal(graph);
return 0;
}
输出结果（求的连通分量）：
connected components:012
connected components:345
总结：使用递归的优点是它更容易实现。但是，也存在一些缺点，如果深度太深，会造成堆栈溢出。这种情况下我们会考虑使用 BFS，或使用显示栈实现 DFS。（其实我们上面使用的是系统提供的隐式栈，也成为调用栈 Call Stack）
显示栈实现
我们只需要修改上面 dfs 函数即可。
示例代码：
void dfs(vector> &graph, vector &visited, int vertex) {
// 将根顶点压栈
stack s;
s.push(vertex);
while (!s.empty()) {
// 取栈顶元素
int vertex = s.top();
s.pop();
if (!visited[vertex]) {
visited[vertex] = true;
cout << vertex << " ";
for (int i = 0; i < graph[vertex].size(); i++) {
int neighbor = graph[vertex][i];
if (!visited[neighbor]) {
// 邻接点压栈
s.push(neighbor);
}
}
}
}
}
总结：使用显示栈实现递归有以下几个优点
- 避免栈溢出：递归算法在处理大规模问题时可能会导致栈溢出的问题，因为每次递归调用都会占用一定的栈空间。使用显示栈可以更好地控制栈的使用，从而避免栈溢出的风险。
- 提高性能：递归调用会引入函数调用和返回的开销，包括保存和恢复上下文、参数传递等。使用显示栈可以避免这些开销，因为所有的状态都显式地保存在栈中，而不是通过函数调用和返回来传递。这可以提高算法的性能。
- 灵活控制递归过程：使用显示栈可以手动控制递归的深度和顺序。递归函数的执行顺序是由函数调用和返回决定的，而使用显示栈可以在需要时手动推入和弹出栈帧，从而灵活控制递归的深度和顺序。
广度优先遍历
广度优先遍历是一种迭代的遍历算法，它从图的某个顶点开始，先访问该顶点的所有邻居，然后再依次访问邻居的邻居，以此类推，直到遍历完所有可达的顶点。
思路解析：
1. 创建一个visited数组，用于记录已经访问过的顶点。
2. 创建一个队列，并将起始顶点放入队列中。
3. 将起始顶点标记为已访问。
4. 从队列中取出一个顶点，访问该顶点，并将其所有未访问过的邻居顶点放入队列中。
5. 标记刚刚访问过的顶点为已访问。
6. 重复步骤4、5，直到队列为空。
示例代码：
#include
#include
#include
using namespace std;
void bfs(vector> &graph, vector &visited, int start) {
visited[start] = true;
queue q;
q.push(start);
while (!q.empty()) {
int vertex = q.front();
q.pop();
cout << vertex << " ";
for (int i = 0; i < graph[vertex].size(); i++) {
int neighbor = graph[vertex][i];
if (!visited[neighbor]) {
q.push(neighbor);
visited[neighbor] = true;
}
}
}
}
void bfsTraversal(vector> &graph) {
int numVertices = graph.size();
vector visited(numVertices, false);
for (int i = 0; i < numVertices; i++) {
if (!visited[i]) {
cout << "connected components:";
bfs(graph, visited, i);
cout << endl;
}
}
}
int main() {
vector> graph = {
{1, 2},
{0},
{0},
{4},
{5},
{4}
};
bfsTraversal(graph);
return 0;
}
对比
深度优先遍历（DFS）和广度优先遍历（BFS）是两种常用的图遍历算法，它们在遍历顺序、实现方式和应用场景上有一些区别。
遍历顺序：
- DFS：深度优先遍历从起始节点开始，沿着一条路径尽可能深入地遍历，直到无法继续深入为止，然后回溯到上一个节点，继续遍历其他路径。DFS会优先探索深度而不是广度。
- BFS：广度优先遍历从起始节点开始，逐层地遍历图中的节点，先访问离起始节点最近的节点，然后逐渐扩展到离起始节点更远的节点。BFS会优先探索广度而不是深度。
实现方式：
- DFS：深度优先遍历通常使用递归或栈来实现。递归方式会利用系统的函数调用栈来保存遍历的路径，而栈方式则显式地使用栈数据结构来保存遍历的路径。
- BFS：广度优先遍历通常使用队列来实现。队列按照节点的到达顺序进行遍历，先进先出的原则确保先访问的节点先被处理。
应用场景：
- DFS：深度优先遍历常用于寻找图中的路径、拓扑排序、连通性检测等问题。它可以帮助我们在图中找到一条路径，或者判断图是否是连通的。
- BFS：广度优先遍历常用于寻找图中的最短路径、连通性检测等问题。它可以帮助我们找到起始节点到其他节点的最短路径，并且可以用于解决一些优化问题。
总的来说，DFS和BFS在遍历顺序、实现方式和应用场景上有所不同。DFS更注重深度，而BFS更注重广度。选择使用哪种遍历算法取决于具体的问题需求和图的特点。