20年蓝桥杯第二次省模拟第九题

题目描述

小明和朋友们一起去郊外植树，他们带了一些在自己实验室精心研究出的小树苗。
小明和朋友们一共有 n 个人，他们经过精心挑选，在一块空地上每个人挑选了一个适合植树的位置，总共 n 个。他们准备把自己带的树苗都植下去。
然而，他们遇到了一个困难：有的树苗比较大，而有的位置挨太近，导致两棵树植下去后会撞在一起。
他们将树看成一个圆，圆心在他们找的位置上。如果两棵树对应的圆相交，这两棵树就不适合同时植下（相切不受影响），称为两棵树冲突。
小明和朋友们决定先合计合计，只将其中的一部分树植下去，保证没有互相冲突的树。他们同时希望这些树所能覆盖的面积和（圆面积和）最大。

输入格式：
输入的第一行包含一个整数 n ，表示人数，即准备植树的位置数。
接下来 n 行，每行三个整数 x, y, r，表示一棵树在空地上的横、纵坐标和半径。

输出格式：
输出一行包含一个整数，表示在不冲突下可以植树的面积和。由于每棵树的面积都是圆周率的整数倍，请输出答案除以圆周率后的值（应当是一个整数）。

样例输入
6
1 1 2
1 4 2
1 7 2
4 1 2
4 4 2
4 7 2

样例输出
12

评测用例规模与约定：
对于 30% 的评测用例，1 <= n <= 10；
对于 60% 的评测用例，1 <= n <= 20；
对于所有评测用例，1 <= n <= 30，0 <= x, y <= 1000，1 <= r <= 1000。

思路

题目可以理解为：平面内分布着不同大小的圆，在圆与圆出现重合的情况下选择部分圆，使得被选的圆们总面积尽可能大。
为什么不考虑贪心或者dp？ 圆与圆之间相互重叠，且圆的半径有大有小，一个圆的选用与否可能会影响到其他数个圆，被影响的圆又将影响到跟它们有关的圆，并且可能会出现多个圆重叠、圆之间包含的情况。没法找到最优子结构或者贪心的方式。

换一个思路，一个圆有选和不选两种可能性，而圆的数量最多只有30个，可以尝试通过回溯找到所有可能。此时复杂度达到 2 ^ n（n <= 30） (过大），但我们不需要回溯所有的情况，可以有以下枝剪方案：
1.如果一个圆不与其他任何圆重叠，它一定会被选择。（n - 1）
2.如果一个圆与前面任意被选中的圆重叠，该圆一定不会被选用。 （n - 1）
一个圆无论是否与其他圆重叠，它的分支在回溯中都可能被剪去，复杂度最坏情况为 2 ^ (n / 2) ，可以接受。

实现

1.首先可以想到，不与任何其他圆重叠的圆一定会被选入，所以它不需要参与回溯。
2.提前对圆之间的重叠关系进行处理（O (n ^ 2) ）并记录各圆面积，省去在回溯中进行计算。
3.回溯，通过比较得到最大值。

#include
using namespace std;
int n, ans;
int cir[30][3];    //circles
int iso[30][30];   //isoverlapped
int are[30];       //area
int vis[30];       //visaul:0未选用，1选用，-1不考虑 

//2.执行回溯
void dfs(int idx, int sum) {  // i下标，sum面积和 
    //结束条件 
    if(idx == n - 1) {
        ans = max(ans, sum);
        return;
    }
    //回溯
    if(vis[idx] == -1) dfs(idx + 1, sum);     //当前圆孤立，不考虑 
    else {
        vis[idx + 1] = 0;                     //不选用当前圆 
        dfs(idx + 1, sum);
        
        int f = 1;                            //考虑选用当前圆 
        for(int i = 0; i < idx + 1; i++)
            if(vis[i] && iso[i][idx + 1] == 1) {
                f = 0;
                break;
            }
        if(f) {
            vis[idx + 1] = 1;
            dfs(idx + 1, sum + are[idx + 1]);
        }
    }
}
int main() {
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++)
        cin >> cir[i][0] >> cir[i][1] >> cir[i][2];
    
    //1.找出重叠的圆，将孤立的圆计入答案 
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        are[i] = cir[i][2] * cir[i][2];
        int f = 1;
        for(int j = 0; j < n; j++) {
            int dx = cir[i][0] - cir[j][0];
            int dy = cir[i][1] - cir[j][1];
            int dr = cir[i][2] + cir[j][2];
            if(dx * dx + dy * dy < dr * dr) {
                iso[i][j] = 1;
                f = 0;
            }
        }
        if(f) {
            ans += are[i];
            vis[i] = -1;
        }
    } 
    
    dfs(-1, ans);
    cout << ans;
}