跳表-skiplist的简单实现

1、什么是跳表-skiplist

skiplist本质上也是一种查找结构，用于解决算法中的查找问题，跟平衡搜索树和哈希表的价值是一样的，可以作为key或者key/value的查找模型。那么相比而言它的优势是什么的呢？这么等我们学习完它的细节实现，我们再来对比。

skiplist是由William Pugh发明的，最早出现于他在1990年发表的论文《Skip Lists: AProbabilistic Alternative to Balanced Trees》。对细节感兴趣的同学可以下载论文原文来阅读。

skiplist，顾名思义，首先它是一个list。实际上，它是在有序链表的基础上发展起来的。如果是一个有序的链表，查找数据的时间复杂度是O(N)。

William Pugh开始的优化思路：

1. 假如我们每相邻两个节点升高一层，增加一个指针，让指针指向下下个节点，如下图b所示。这样所有新增加的指针连成了一个新的链表，但它包含的节点个数只有原来的一半。由于新增加的指针，我们不再需要与链表中每个节点逐个进行比较了，需要比较的节点数大概只有原来的一半。
2. 以此类推，我们可以在第二层新产生的链表上，继续为每相邻的两个节点升高一层，增加一个指针，从而产生第三层链表。如下图c，这样搜索效率就进一步提高了。
3. skiplist正是受这种多层链表的想法的启发而设计出来的。实际上，按照上面生成链表的方式，上面每一层链表的节点个数，是下面一层的节点个数的一半，这样查找过程就非常类似二分查找，使得查找的时间复杂度可以降低到$O(lo{g}_{2}n)$。但是这个结构在插入删除数据的时候有很大的问题，插入或者删除一个节点之后，就会打乱上下相邻两层链表上节点个数严格的2:1的对应关系。如果要维持这种对应关系，就必须把新插入的节点后面的所有节点（也包括新插入的节点）重新进行调整，这会让时间复杂度重新蜕化成O(n)。

4. skiplist的设计为了避免这种问题，做了一个大胆的处理，不再严格要求对应比例关系，而是插入一个节点的时候随机出一个层数。这样每次插入和删除都不需要考虑其他节点的层数，这样就好处理多了。细节过程入下图：
   

模拟查找过程：
例如需要查找17

17比6大，向右走，跳跃到6
6的下一个结点是nullptr，向下走
6的下一个结点是25，比17大，向下走
6的下一个结点是9，向右走，跳跃到9
9的下一个结点是17，正是要查找的值，跳跃到17

2、skiplist的效率如何保证？

上面我们说到，skiplist插入一个节点时随机出一个层数，听起来怎么这么随意，如何保证搜索时的效率呢？
这里首先要细节分析的是这个随机层数是怎么来的。一般跳表会设计一个最大层数maxLevel的限制，其次会设置一个多增加一层的概率p。那么计算这个随机层数的伪代码如下图：

在Redis的skiplist实现中，这两个参数的取值为：

p = 1/4
maxLevel = 32

根据前面randomLevel()的伪码，我们很容易看出，产生越高的节点层数，概率越低。定量的分析
如下：

• 节点层数至少为1。而大于1的节点层数，满足一个概率分布。
• 节点层数恰好等于1的概率为1-p。
• 节点层数大于等于2的概率为p，而节点层数恰好等于2的概率为p(1-p)。
• 节点层数大于等于3的概率为p²，而节点层数恰好等于3的概率为p² *(1-p)。
• 节点层数大于等于4的概率为p³，而节点层数恰好等于4的概率为p³ *(1-p)。

因此，一个节点的平均层数（也即包含的平均指针数目），计算如下：

现在很容易计算出：

当p=1/2时，每个节点所包含的平均指针数目为2；
当p=1/4时，每个节点所包含的平均指针数目为1.33。

跳表的平均时间复杂度为O(logN)，这个推导的过程较为复杂，需要有一定的数学功底，有兴趣的
老铁，可以参考以下文章中的讲解

铁蕾大佬的博客：http://zhangtielei.com/posts/blog-redis-skiplist.html
William_Pugh大佬的论文：ftp://ftp.cs.umd.edu/pub/skipLists/skiplists.pdf

3、skiplist的实现

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

struct SkiplistNode
{
	int _val;
	vector<SkiplistNode*> _nextV;

	SkiplistNode(int val, int level)
		:_val(val)
		, _nextV(level, nullptr)
	{}
};

class Skiplist {
	typedef SkiplistNode Node;
public:
	Skiplist() {
		srand(time(0));

		// 头节点，层数是1
		_head = new SkiplistNode(-1, 1);
	}

	bool search(int target) {
		Node* cur = _head;
		//从最高层开始查找
		int level = _head->_nextV.size() - 1;
		//到第0层如果还找不到数据，就说明不存在
		while (level >= 0)
		{
			// 下一个结点不为nullptr并且目标值比下一个节点值要大，向右走
			if (cur->_nextV[level] != nullptr && cur->_nextV[level]->_val < target)
			{
				// 向右走
				cur = cur->_nextV[level];
			}
			// 下一个节点是空(尾)或者目标值比下一个节点值要小，向下走
			else if (cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]->_val > target)
			{
				// 向下走
				--level;
			}
			else
			{
				return true;
			}
		}

		return false;
	}

	//获取插入结点的每一层的前一层结点指针
	vector<Node*> FindPrevNode(int num)
	{
		Node* cur = _head;
		int level = _head->_nextV.size() - 1;

		// 插入位置每一层前一个节点指针
		vector<Node*> prevV(level + 1, _head);

		while (level >= 0)
		{
			// 目标值比下一个节点值要大，向右走
			if (cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < num)
			{
				// 向右走
				cur = cur->_nextV[level];
			}
			// 下一个节点是空(尾)或者目标值比下一个节点值要小，向下走
			else if (cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]->_val >= num)
			{
				// 更新level层前一个
				prevV[level] = cur;

				// 向下走
				--level;
			}
		}

		return prevV;
	}

	void add(int num) {

		vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);

		int n = RandomLevel();
		Node* newnode = new Node(num, n);

		// 如果n超过当前最大的层数，那就升高一下_head的层数
		if (n > _head->_nextV.size())
		{
			_head->_nextV.resize(n, nullptr);
			prevV.resize(n, _head);
		}

		// 链接前后节点
		for (size_t i = 0; i < n; ++i)
		{
			newnode->_nextV[i] = prevV[i]->_nextV[i];
			prevV[i]->_nextV[i] = newnode;
		}
	}

	bool erase(int num) {
		vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);

		// 第一层下一个不是val，val不在表中
		if (prevV[0]->_nextV[0] == nullptr || prevV[0]->_nextV[0]->_val != num)
		{
			return false;
		}
		else
		{
			Node* del = prevV[0]->_nextV[0];
			// del节点每一层的前后指针链接起来
			for (size_t i = 0; i < del->_nextV.size(); i++)
			{
				prevV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i];
			}
			delete del;

			// 如果删除最高层节点，把头节点的层数也降一下
			int i = _head->_nextV.size() - 1;
			while (i >= 0)
			{
				if (_head->_nextV[i] == nullptr)
					--i;
				else
					break;
			}
			//降低层数
			_head->_nextV.resize(i + 1);

			return true;
		}


	}

	//C语言产生随机数
	//int RandomLevel()
	//{
	//	size_t level = 1;
	//	// rand() ->[0, RAND_MAX]之间
	//	while (rand() <= RAND_MAX*_p && level < _maxLevel)
	//	{
	//		++level;
	//	}

	//	return level;
	//}

	//C++产生随机数
	int RandomLevel()
	{
		static std::default_random_engine generator(std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());
		static std::uniform_real_distribution<double> distribution(0.0, 1.0);

		size_t level = 1;
		while (distribution(generator) <= _p && level < _maxLevel)
		{
			++level;
		}

		return level;
	}

private:
	Node* _head;
	//最大的层数
	size_t _maxLevel = 32;
	//出现一层的概率是1/2，出现两层的概率是1/4，出现三层的概率是1/8，以此类推	
	double _p = 0.5;
};

测试层数是否跟前面的概率分布大致相同：

int main()
{
	vector<int> v(32, 0);
	Skiplist sl;
	//int max = 0;
	//测试1千万次
	for (size_t i = 0; i < 100000000; ++i)
	{
		v[sl.RandomLevel() - 1]++;

	for (int i = 0; i < v.size(); ++i)
	{
		cout << "第" << i + 1 << "层: " << v[i] << endl;
	}
	cout << endl;
	return 0;
}

从测试结果来看，每一层和下一层的比例大概是2:1，和我们给出的概率是相同的。

4、skiplist跟平衡搜索树和哈希表的对比

1. skiplist相比平衡搜索树(AVL树和红黑树)对比，都可以做到遍历数据有序，时间复杂度也差不多。
   skiplist的优势是：
   a、skiplist实现简单，容易控制。平衡树增删查改遍历都更复杂。
   b、skiplist的额外空间消耗更低。平衡树节点存储每个值有三叉链，平衡因子/颜色等消耗。skiplist中p=1/2时，每个节点所包含的平均指针数目为2；skiplist中p=1/4时，每个节点所包含的平均指针数目为1.33；
2. skiplist相比哈希表而言，就没有那么大的优势了。
   相比而言：
   a、哈希表平均时间复杂度是O(1)，比skiplist快。
   b、哈希表空间消耗略多一点。
   skiplist优势如下：
   a、遍历数据有序
   b、skiplist空间消耗略小一点，哈希表存在链接指针和表空间消耗。
   c、哈希表扩容有性能损耗。
   d、哈希表再极端场景下哈希冲突高，效率下降厉害，需要红黑树补足接力。