【动态规划】三步问题

题目描述：

示例：

(1)题目解析：

小孩每一次可以走1,2,3步，那么形成不同的排列组合，会有很多种上楼梯方式。

(2)算法原理：

[1]状态表示

根据题目要求+经验，建立一个dp表，dp表中每个值，表示到达i位置为止，上楼梯的方式总数。

[2]状态转移方程 

注意：计算的是方案数而不是步数，因此在选择从i-1=>i  i-2=>i  i-3=>i的时候，方案数和i-1位置 i-2位置 i-3位置相同，不需要+1。

状态转移方程：dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]+dp[i-3]

[3]初始化
由于dp[i]位置的值是由前三个位置的值推到出来的，因此第0,1,2位置的值应该进行初始化，以防越界。

[4]填表顺序 
只有前面三个位置的值知道了才能算出 i 位置的值，因此是从左往右。

[5]返回值
最后返回所需值dp[n]。

(3)代码实现
 

class Solution {
public:
    int waysToStep(int n) 
    {
        const int MAX=1e9+7;
        //边界位置情况
        if(n==1)
            return 1;
        if(n==2)
            return 2;
        if(n==4)
            return 4;
        vector dp(n+1);
        dp[1]=1;
        dp[2]=2;
        dp[3]=4;
        int i=0;
        for(i=4;i<=n;i++)
        {
            dp[i]=((dp[i-1]+dp[i-2])%MAX+dp[i-3])%MAX;
            //为防止越界，每次进行加法运算取一次模
        }
        return dp[n];
    }
};