2个玻璃球测试楼层问题
题目：给你两个一模一样的玻璃球，这两个玻璃球如果从一定高度调到地上就一定会碎，已知摔碎的高度在1层楼到100层楼之间，如何用最少的试验次数，测试出刚好摔碎的楼层高度。
该题还可以扩展，比如说给更多的球，如3个球，多少次测试可以找出楼层。
分析如下：
用动态规划解这个问题
设f(a, b)为a个球做b次测试可以测试到的楼层数，可以确定的楼层数即为f(a, b) + 1，因为第1层不需测试，需要测试的楼层号仅仅为[2, f(a, b) + 1]共f(a, b)层，也就是a个球b次测试可以测试到的楼层数。考虑第1次测试，测试的楼层记为x：
1）如果球破了，就需要测试x下面的楼层，还剩下a-1个球b-1次测试，测试的楼层数为f(a - 1, b - 1)。
2）如果球没有破，那么需要测试x上面的楼层，还剩下a个球b-1次测试，测试的楼层数为f(a, b - 1)。
a个球b次测试为1）2）测试的楼层数及第1次测试了的1层，所以：
f(a, b) = f(a - 1, b - 1) + f(a, b - 1) + 1 （1）
考虑初始条件，显然f(a, 1) = 1（a >= 1，1次测试可以测试到的楼层数当然为1，不论多少个球），f(1, b) = b（b >= 1，1个球做了b次测试当然测试到了b层楼）。
强调一下：注意f(a, b)为测试到的楼层数，f(a, b)加上不需测试的楼层才是可以确定的楼层（f(a, b) + 1）。
动态规划解（1）式即可。
一般来说，a >= 2（1个球意义不大），可以计算出f(2, 64) = 2080，f(3, 64) = 43744，f(4, 64) = 679120。
程序如下
/*
* a balls, n floors, want to find the minimum number of floor
* where a ball drops will be broken. output the minimum number
* of drops
* METHOD: dynamic programming
* assum the answer is b, that is the number of drops
* f(a, b): the maximum number of floors, when a balls and b drops
* f(a, b) = 1 + f(a, b - 1) + f(a - 1, b - 1)
* obviously, f(a, 1) = 1; f(1, b) = b
*/
#include
#include
#include
#include
#define DEBUG
#define MAX_B 64
#define MAX_A 16
#define f(a, b) ff[a - 1][b - 1]
static unsigned int a, n;
static unsigned long long ff[MAX_A][MAX_B];
static void init()
{
int i;
memset(ff, 0, sizeof(ff));
/*f(a, 1) = 1*/
for (i = 1; i <= MAX_A; i++){
f(i, 1) = 1;
}
/*f(1, b) = b + 1*/
for (i = 1; i <= MAX_B; i++){
f(1, i) = i;
}
}
static unsigned long long do_find_min_drops(int i, int j)
{
if (f(i, j))
return f(i, j);
f(i, j) = do_find_min_drops(i - 1, j - 1) +
do_find_min_drops(i, j - 1) + 1;
return f(i, j);
}
static void do_print_drops(int i, int j, unsigned long long min,
unsigned long long max)
{
if (min > max)
return;
if (1 == i){
assert(j == max - min + 1);
for (i = min; i <= max; i++){
printf("%5d", i);
}
printf("/n");
printf("*************/n");
return;
}
if (1 == j){
assert(min == max);
printf("%5lld/n", max);
printf("*************/n");
return;
}
printf("%5lld", min + f(i - 1, j - 1));
do_print_drops(i - 1, j - 1, min, min + f(i - 1, j - 1) - 1);
do_print_drops(i, j - 1, min + f(i - 1, j - 1) + 1, max);
}
static void print_drops(int ans)
{
do_print_drops(a, ans, 2, n);/*[2..n]*/
}
static void find_min_drops()
{
/*NOTE: number of floors are [1, n]*/
int i, j, m;
int ans;
#if 0//def DEBUG
for (i = 2; i <= MAX_A; i++){
for (j = 2; j <= MAX_B; j++){
printf("f(%d, %d) = %lld/n", i, j, do_find_min_drops(i, j));
}
printf("****************/n");
}
#endif
i = 1;
j = MAX_B;
while (i <= j){
m = (i + j) / 2;
if (do_find_min_drops(a, m) + 1 < n)
/*
* why +1? because the 1st floor need not to test
*/
i = m + 1;
else
j = m - 1;
}
ans = i;
if (ans > MAX_B){
printf("the number of the maximum drops(MAX_B = %d) is too small/n", MAX_B);
printf("maximum floors "
"can be tested is f(%d, %d) + 1 = %lld + 1. STOP/n", a, MAX_B, f(a, MAX_B));
exit(0);
}
printf("the minimum drops: %d/n", ans);
print_drops(ans);
#ifdef DEBUG
for (i = 1; i <= a; i++){
for (j = 1; j <= ans; j++){
printf("f(%d, %d) = %lld/n", i, j, f(i, j));
}
printf("****************/n");
}
#endif
}
int main(int argc, char **argv)
{
if (3 != argc){
fprintf(stderr, "usage: %s a n/n", argv[0]);
exit(-1);
}
a = atoi(argv[1]);
n = atoi(argv[2]);
printf("a = %d/tn = %d/n", a, n);
assert(a > 0 && a < MAX_A && n > 0);
init();
find_min_drops(); /*drops: 1*/
return 0;
}
这里，我采用递归的方法打出了测试过程，解释如下：
1）2个球，100层楼时，可以计算出
f(2, 13) = 91
f(2, 14) = 105
因此需要的测试次数为14，测试过程为
15 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
*************
28 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
*************
40 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
*************
51 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
*************
61 52 53 54 55 56 57 58 59 60
*************
70 62 63 64 65 66 67 68 69
*************
78 71 72 73 74 75 76 77
*************
85 79 80 81 82 83 84
*************
91 86 87 88 89 90
*************
96 92 93 94 95
*************
100 97 98 99
*************
第1次测试为15层，如果球破了，则剩下的一个球测试[2, 14]，总共的测试次数最多为1+13=14
如果球没破，则测试28层，如果破了，剩下的一个球测试[16, 27]，总共的测试次数最多为1+1+12 = 14
...
如果球没破，测试100层，如果破了，剩下的一个球测试[97, 99]，总共的测试次数最多为1{11} + 3 = 14
如果球没破，则不存在楼层使得球可以摔破。
2）3个球，100层楼，可以计算出
f(3, 8) = 92
f(3, 9) = 129
因此测试测试最多为9次。测试过程：
38 9 2 3 4 5 6 7 8
第1个球测试38层，如果破了，第2个球测试9层，如果还破了，剩下的一个球测试[2, 8]层，总共的测试次数2 + 7 = 9
*************
16 10 11 12 13 14 15
如果第2个球没破，则测试16层，如果破了，第3个球测试[10, 15]，总共的测试测试3 + 6 = 9
*************
22 17 18 19 20 21
如果第2个球没破，则测试22层，如果破了，第3个球测试[17, 21]，总共的测试测试4 + 5 = 9
*************
27 23 24 25 26
如果第2个球没破，则测试27层，如果破了，第3个球测试[23, 26]，总共的测试测试5 + 4 = 9
*************
31 28 29 30
如果第2个球没破，则测试31层，如果破了，第3个球测试[28, 30]，总共的测试测试6 + 3 = 9
*************
34 32 33
*************
36 35
*************
37
*************
67 45 39 40 41 42 43 44
如果第1个球没破，则测试67层，如果破了，第2个球测试45层，如果破了，第3个球测试[39, 44]，总共的测试次数3 + 6 = 9。以下类似，不再重复。
*************
51 46 47 48 49 50
*************
56 52 53 54 55
*************
60 57 58 59
*************
63 61 62
*************
65 64
*************
66
*************
89 73 68 69 70 71 72
*************
78 74 75 76 77
*************
82 79 80 81
*************
85 83 84
*************
87 86
*************
88
*************
105 94 90 91 92 93
*************
98 95 96 97
*************
101 99 100
*************
103 102
*************
104
*************
3）对于更多球的情况，输出的测试方法分析起来有些麻烦，但是上面的动态规划法求出的结果就容易理解了，且是保证正确的。
---------------------
原文：https://blog.csdn.net/lzshlzsh/article/details/5951447