4.函数与方程

一.零点,二分法

题型一:函数的零点概念

1. 下列对零点说法正确的有几个___________.
   ①函数的零点就是方程的根
   ②函数的零点就是的图象与轴的交点
   ③函数的零点是实数
   ④函数的零点是平面上的一个点
    
2. ,则函数零点为___________.

题型二:零点所在区间

1. 下列说法正确的是___________.
   A.若,则在区间上至少有一个零点
   B.若在连续且,则在区间上没有零点
   C.若在连续且,则 在区间上有且只有一个零点
   D.若在连续且,则 在区间上至少有一个零点
    
2. 函数的图象是连续不断的,有如下对应关系:
   写出零点所在区间（区间长度为）___________.
    
3. 有零点的区间是___________.
   A.
   B.
   C.
   D.

题型三:零点个数

1. 零点有___________.
    
2. 零点有___________.

题型四:证明零点唯一性

1. 找出连续函数零点所在区间,并证明只有一个零点.
    
    
    
    
    
    

题型五:二分法

1. 用二分法求的近似解（精确到0.1）,利用计算器得,, ,,,,则近似解所在区间是___________.
   A.
   B.
   C.
   D.
    
2. 用二分法求在区间上的实根,取区间中点,则下一个有解区间为___________.
    
3. 用二分法求的近似解,,,, ,下一个求 ,则___________.

课后练习

1. 函数的零点为___________.
    
2. 若函数 的图像是连续不断的,且 ,则加上下列哪个条件可确定有唯一零点___________.
   A.
   B.
   C.函数在定义域内增函数
   D.函数在定义域内为减函数
    
3. 对于函数,若,则函数在区间内___________.
   A.一定有零点
   B.一定没有零点
   C.可能有两个零点
   D.至多有一个零点
    
4. 函数的零点的个数为___________.
    
5. 若函数在区间上的图像是连续的曲线,且方程在 内有且仅有一个实数根,则 的值___________.
   A.大于0
   B.小于0
   C.等于0
   D.无法判断
    
6. 函数的零点个数为___________.
    
7. 在下列区间中,函数的零点所在的区间为___________.
   A. B.
   C.
   D.
    
8. 设函数的零点分别为则___________.
   A.
   B.
   C.
   D.
    
9. 函数的零点个数为___________.
    
10. 某方程有一无理根在区间内,用二分法求此根,要求求得的近似解精确度不大于,则至少要将区间等分________次.

二.二次方程根的分布

例题

已知方程根的情况如下,分别求实数的取值范围．

1. 方程有一根
    
    
    
    
2. 有两正根（两负根）
    
    
    
    
3. 有一正根一负根
    
    
    
    
4. 两根都小于;（两根都大于）
    
    
    
    
5. 一个根大于,一个根小于
    
    
    
    
6. 有一根在区间内,另一根在区间内
    
    
    
    
7. 有两异根有且仅有一个在内
    
    
    
    
8. 两根都在区间内
    
    
    
    
9. 一个正根,一个负根且正根绝对值较大
    
    
    
    
10. 一个根小于,一个根大于
     
     
     
     

课后练习

1. 方程的两个根都比2大,则的取值范围为___________.
    
2. 当___________时,方程的一根大于1,一根小于1.
    
3. 若方程有两个不相同的实根,则的取值范围为___________.
    
4. 若关于的方程有唯一的实根,则实数的取值范围是___________.
    
5. 方程有且仅有两个不同的实数根,则实数a的取值范围是___________.
    
6. 已知函数若对于任一实数,与 至少有一个为正数,则实数的取值范围是___________.
    
7. 已知关于的二次方程．
   （1）若方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,求的范围;
   （2）若方程两根均在区间内,求的范围;
   （3）有一实根在0和1之间,求的取值范围.
   （4）较大实根在0和1之间,求实数的取值范围.
   （5）两根为且满足,求的取值范围.
    
    
    
    
    
    
8. 已知函数与轴非负半轴至少有一个交点,求的取值范围．（与轴至多有一个交点呢？）
    
    
    
    
    
    
9. 对于函数,若存在,使成立,则称为的不动点.已知函数
   （1）当时,求函数的不动点;
   （2）对任意实数,函数恒有两个相异的不动点,求的取值范围.
    
    
    
    
    
    
10. 已知二次函数在区间[0,1]上有且只有一个零点,求实数取值范围.