HDU7297 杭电多校（二） 1011-SPY finding NPY

题面
题意： 主人公在一堆人里选人，他们的能力值分别为$1-n$，主人公采取如下策略：取一个$k$，这$k$个人全不要，设这$k$个人中能力值最大的为$m$，从$k+1$开始选出第一个比$m$大的。要让选出的人是能力值最高的概率最大，求$m$。

考试时做到这题已经没时间耐心推导规律了，就打了几个表去$oeis$上找规律，发现了一个神奇规律$\lfloor \frac{n^{n+1}}{(n+1{)}^n}\rfloor$，正好可以过样例，调调改改直接交了，结果$WA$了，后来对拍发现差了好多。

其实公式并不难推，我们设$f(n,k)$为取到能力值最高的概率，则有
$f(n,0)=\frac{1}{n},$
$f(n,k)={\sum }_{i=k+1}^n\frac{1}{n}\frac{k}{i-1}=\frac{k}{n}{\sum }_{i=k}^{n-1}\frac{1}{i}$。
因此求出$\frac{1}{i}$的前缀和，遍历枚举$k$即可。时间复杂度$O(Tn)$

如果再对这个函数进行求导，可以发现这个函数是先增后减的，最大值为$\frac{n}{e}$，因此求出$\frac{n}{e}$，并枚举左右两侧的数也可以$O(T)$求出结果。

#include
#define N 10010
using namespace std;
double sum[N],ans;
inline void read(int &x){
    int s=0,w=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){s=(s<<3)+(s<<1)+(ch&15);ch=getchar();}
    x=s*w;
}
int n,T;
int main ()
{
    for(int i=1;i<=10000;i++)sum[i]=sum[i-1]+1.0/i;
    read(T);
    while(T--){
        read(n);double ans=1.0/n;int ak=0;
        for(int k=1;k<=n;k++){
            if(k*1.0/n*(sum[n-1]-sum[k-1])>ans)ans=k*1.0/n*(sum[n-1]-sum[k-1]),ak=k;
        }
        cout<<ak<<endl;
    }

}