2023CCPC全国邀请赛（湘潭）F. Timaeus 期望DP

题意：初始有a朵小花，一次操作可以消耗b朵小花合成1朵大花，同时一次操作可以从两个技能中选择一个，一个是有p%的概率消耗b朵小花合成2朵大花，一个是有q%的概率消耗b朵小花合成1朵大花+1朵小花，问最大期望合成的大花数量是多少？

如果看出了是期望dp，很容易列出转移方程dp[i]表示花费i朵小花的期望值。

但是发现当b=1时有特例，如果b=1,你会发现这个式子就是,所以不能用上述递推式了。

就需要重新推一下期望值了，假设只有一朵小花：

.......

公式展开合并同类项：

前半部分等比公式合并：

由于n趋近于无穷，,趋近于0,所以再次化简：

所以i个小花生成大花的期望值就等于

所以转移方程就变成了：

撒花

#include
using namespace std;
double dp[1000005];
int main()
{	
	int a,b;
	double p,q; 
	cin>>a>>b>>p>>q;
	p/=100;
	q/=100;
	if(b==1)
	{
		for(int i=1;i<=a;i++)
		{
			dp[i]= max(p*(dp[i-1]+2)+(1-p)*(dp[i-1]+1),i/(1-q));
		}
		//ans=max(ans,a/(1-q));
		printf("%.9lf\n",dp[a]);
	} 
	else
	{
		for(int i=b;i<=a;i++)
		{
			dp[i]=max(p*(dp[i-b]+2)+(1-p)*(dp[i-b]+1),q*(dp[i-b+1]+1)+(1-q)*(dp[i-b]+1));
		}
		printf("%.9lf\n",dp[a]);
	}
 	return 0;
}