第一章 预备知识
一 Python基础
匿名函数与map方法
1.匿名函数：
my_func = lambda x: 2*x
#调用：
my_func(3)
2.map函数
#映射关系：
[(lambda x: 2*x)(i) for i in range(5)]
#map函数：返回map对象，
#输入：function(n个参数)，n个iteration对象
map(lambda x: 2*x, range(5))
#通过list转为列表：
list(map(lambda x: 2*x, range(5)))
#对于多个输入值的函数映射，可以通过追加迭代对象实现：
list(map(lambda x, y: str(x)+'_'+y, range(5), list('abcde')))
Python的iterator是一个惰性序列，意思是表达式和变量绑定后不会立即进行求值，而是当你用到其中某些元素的时候才去求某元素对的值。 惰性是指，你不主动去遍历它，就不会计算其中元素的值。
zip对象与enumerate方法
zip函数能够把多个可迭代对象打包成一个元组构成的可迭代对象，它返回了一个 zip 对象，通过 tuple, list 可以得到相应的打包结果：
L1, L2, L3 = list('abc'), list('def'), list('hij')
list(zip(L1, L2, L3)) #output: [('a', 'd', 'h'), ('b', 'e', 'i'), ('c', 'f', 'j')]
tuple(zip(L1, L2, L3)) #output:(('a', 'd', 'h'), ('b', 'e', 'i'), ('c', 'f', 'j'))
#zip应用场景1：循环迭代多个list
for i, j, k in zip(L1, L2, L3):
print(i, j, k)
'''
output:
a d h
b e i
c f j
'''
#zip应用场景2：对两个列表建立字典映射
dict(zip(L1,L2)) #{'a': 'd', 'b': 'e', 'c': 'f'}
解压缩 *：
zipped = list(zip(L1, L2, L3)) #[('a', 'd', 'h'), ('b', 'e', 'i'), ('c', 'f', 'j')]
list(zip(*zipped)) # 三个元组分别对应原来的列表 [('a', 'b', 'c'), ('d', 'e', 'f'), ('h', 'i', 'j')]
enumerate 是一种特殊的打包，它可以在迭代时绑定迭代元素的遍历序号：
for index, value in enumerate(L):
print(index, value)
二 Numpy基础
np数组的构造
array方法：
np.array([1,2,3])
一些特殊数组的生成方式
等差序列：np.linspace, np.arange
np.linspace(1,5,11) # 起始、终止（包含）、样本个数 array([1. , 1.4, 1.8, 2.2, 2.6, 3. , 3.4, 3.8, 4.2, 4.6, 5. ])np.arange(1,5,2) #起始、终止（不包含）、步长array([1, 3])
特殊矩阵 zeros, ones, eye, full
np.zeros((2,3)) # 传入元组表示各维度大小(ones用法相同)
'''
array([[0., 0., 0.],
[0., 0., 0.]])
'''
np.eye(3) # 3*3的单位矩阵
'''
array([[1., 0., 0.],
[0., 1., 0.],
[0., 0., 1.]])
'''
np.eye(3, k=1) # 偏移主对角线1个单位的伪单位矩阵
'''
array([[0., 1., 0.],
[0., 0., 1.],
[0., 0., 0.]])
'''
np.full((2,3),10) #元组传入行列数，10为填充值
'''
[[10 10 10]
[10 10 10]]
'''
np.full((2,3), [1,2,3]) # 通过传入列表填充每列的值
'''
[[1, 2, 3],
[1, 2, 3]]
'''
随机矩阵np.random
最常用的随机生成函数为 rand, randn, randint, choice ，它们分别表示0-1均匀分布的随机数组、标准正态的随机数组、随机整数组和随机列表抽样：
#1. rand(a): 生成服从0-1均匀分布的a个随机数
np.random.rand(3)
'''
[0.33475955, 0.95078732, 0.05285509]
'''
#rand(a,b) a行b列
np.random.rand(3, 3) # 注意这里传入的不是元组，每个维度大小分开输入
#服从区间 a 到 b 上的均匀分布可以如下生成
a, b = 5, 15
(b - a) * np.random.rand(3) + a
#2. randn(a)或randn(a,b)： 生成N（0,1）的标准正态分布
np.random.randn(3)
np.random.randn(2, 2)
#对于服从方差为 σ2 均值为 μ 的一元正态分布可以如下生成：
sigma, mu = 2.5, 3
mu + np.random.randn(3) * sigma
#3. randint 可以指定生成随机整数的最小值最大值（不包含）和维度大小：
low, high, size = 5, 15, (2,2) # 生成5到14的随机整数
np.random.randint(low, high, size)
'''
[[ 7, 9],
[13, 7]]
'''
#4. choice 可以从给定的列表中，以一定概率和方式抽取结果，当不指定概率时为均匀采样，默认抽取方式为有放回抽样：
my_list = ['a', 'b', 'c', 'd']
np.random.choice(my_list, 2, replace=False, p=[0.1, 0.7, 0.1 ,0.1])
['b', 'd']
np.random.choice(my_list, (3,3))
'''
[['a', 'c', 'd'],
['d', 'b', 'c'],
['d', 'c', 'a']]
'''
#当返回的元素个数与原列表相同时，等价于使用 permutation 函数，即打散原列表：
np.random.permutation(my_list)
#['d', 'c', 'a', 'b']
#5. 随机种子，它能够固定随机数的输出结果：(random.seed(0)作用：使得随机数据可预测，即只要seed的值一样，后续生成的随机数都一样。)
np.random.seed(0)
np.random.rand() #0.5488135039273248
np.random.rand() #0.7151893663724195
np.random.seed(0)
np.random.rand() #0.5488135039273248 和之前的结果一样
np数组的变形与合并
转置： T
np.zeros((2,3)).T
'''
[[0., 0.],
[0., 0.],
[0., 0.]]
'''
合并操作： r_, c_
对于二维数组而言， r_ 和 c_ 分别表示上下合并和左右合并：
np.r_[np.zeros((2,3)),np.zeros((2,3))]
'''
[[0., 0., 0.],
[0., 0., 0.],
[0., 0., 0.],
[0., 0., 0.]]
'''
np.c_[np.zeros((2,3)),np.zeros((2,3))]
'''
[[0., 0., 0., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., 0., 0., 0.]]
'''
一维数组和二维数组进行合并时，应当把其视作列向量，在长度匹配的情况下只能够使用左右合并的 c_ 操作：
np.c_[np.array([0,0]),np.zeros((2,3))]
'''
[[0., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., 0.]]
'''
维度变换： reshape
reshape 能够帮助用户把原数组按照新的维度重新排列。在使用时有两种模式，分别为 C 模式和 F 模式，分别以逐行和逐列的顺序进行填充读取。
target = np.arange(8).reshape(2,4)
'''
[[0 1 2 3]
[4 5 6 7]]
'''
#按行读取和填充：注意target其实是没变的
target2 = target.reshape((4,2), order='C')
'''
[[0 1]
[2 3]
[4 5]
[6 7]]
'''
# 按照列读取和填充
target2 = target.reshape((4,2), order='F')
'''
[[0 2]
[4 6]
[1 3]
[5 7]]
'''
#特别地，由于被调用数组的大小是确定的， reshape 允许有一个维度存在空缺，此时只需填充-1即可：
target2 = target.reshape((4,-1))
'''
[[0 1]
[2 3]
[4 5]
[6 7]]
'''
#将 n*1 大小的数组转为1维数组:
target = np.ones((3,1))
target.reshape(-1)
'''
[1., 1., 1.]
'''
np数组的切片与索引
slice
数组的切片模式支持使用 slice 类型的 start:end:step 切片，还可以直接传入列表指定某个维度的索引进行切片：
target = np.arange(9).reshape(3,3)
'''
[[0, 1, 2],
[3, 4, 5],
[6, 7, 8]]
'''
#切片：0,2是列索引值
target[:-1, [0,2]]
'''
[[0 2]
[3 5]]
'''
np.ix_
可以利用 np.ix_ 在对应的维度上使用布尔索引，但此时不能使用 slice 切片：
target = np.arange(33).reshape(3,-1)
target2 = target[np.ix_([1,2], [True, False, True, False, True])]
'''
[[11 13 15]
[22 24 26]]
'''
#np.ix_([a,b], [c,d]) a,b,c,d做笛卡尔集：
target2 = target[np.ix_([1,2], [0,2,4])] #效果同上
当数组维度为1维时，可以直接进行布尔索引，而无需 np.ix_ ：
new = target.reshape(-1)
target2 = new[new%2==0]
'''
[0, 2, 4, 6, 8]
'''
常用函数
假设下述函数输入的数组都是一维的
where
where 是一种条件函数，可以指定满足条件与不满足条件位置对应的填充值：
a = np.array([-1,1,-1,0])
np.where(a>0, a, 5) # 对应位置为True时填充a对应元素，否则填充5
'''
[5 1 5 5]
'''
nonzero, argmax, argmin
这三个函数返回的都是索引， nonzero 返回非零数的索引， argmax, argmin 分别返回最大和最小数的索引：
a = np.array([-2,-5,0,1,3,-1])
np.nonzero(a) #[0, 1, 3, 4, 5]
a.argmax() #4
a.argmin() #1
any, all
any: 指当序列至少 存在一个 True 或非零元素时返回 True ，否则返回 False
all: 指当序列元素 全为 True 或非零元素时返回 True ，否则返回 False
a = np.array([0,1])
a.any() #True
a.all() #False
cumprod, cumsum, diff
cumprod, cumsum 分别表示累乘和累加函数，返回同长度的数组，diff 表示和前一个元素做差，由于第一个
元素为缺失值，因此在默认参数情况下，返回长度是原数组减 1
a = np.array([1,2,3])
a.cumprod() #[1,2,6]
a.cumsum() #[1,3,6]
np.diff(a) #[1,1]
统计函数
常用的统计函数包括 max, min, mean, median, std, var, sum, quantile ，其中分位数计算是全局方法，因此不能通过 array.quantile 的方法调用：
target = np.arange(5)
'''
[0, 1, 2, 3, 4]
'''
target.max() #4
np.quantile(target, 0.5) # 0.5分位数 2
对于含有缺失值的数组，它们返回的结果也是缺失值；如果需要略过缺失值，必须使用 nan* 类型的函数
target = np.array([1, 2, np.nan])
target.max() #nan
np.nanmax(target) #2.0
np.nanquantile(target, 0.5) #1.5
对于协方差和相关系数分别可以利用 cov, corrcoef 如下计算：
target1 = np.array([1,3,5,9])
target2 = np.array([1,5,3,-9])
np.cov(target1, target2)
'''
[[ 11.66666667, -16.66666667],
[-16.66666667, 38.66666667]]
'''
np.corrcoef(target1, target2)
'''
[[ 1. , -0.78470603],
[-0.78470603, 1. ]]
'''
二维 Numpy 数组中统计函数的 axis 参数，它能够进行某一个维度下的统计特征计算，当 axis=0 时结果为列的统计指标，当 axis=1 时结果为行的统计指标：
target = np.arange(1,10).reshape(3,-1)
'''
[[1 2 3]
[4 5 6]
[7 8 9]]
'''
target.sum(0) #[12 15 18]按列
target.sum(1) #[ 6 15 24]按行
广播机制
广播机制用于处理两个不同维度数组之间的操作，这里只讨论不超过两维的数组广播机制。
标量和数组的操作
当一个标量和数组进行运算时，标量会自动把大小扩充为数组大小，之后进行逐元素操作：
res = 3 * np.ones((2,2)) + 1
'''
[[4. 4.]
[4. 4.]]
'''
res = 1 / res
'''
[[0.25 0.25]
[0.25 0.25]]
'''
二维数组之间的操作
当两个数组维度完全一致时，使用对应元素的操作，否则会报错，除非其中的某个数组的维度是 m × 1 或者1 × n ，那么会扩充其具有 1 的维度为另一个数组对应维度的大小。例如，1 × 2 数组和 3 × 2 数组做逐元素运算时会把第一个数组扩充为 3 × 2 ，扩充时的对应数值进行赋值。但是，需要注意的是，如果第一个数组的维度是 1 × 3 ，那么由于在第二维上的大小不匹配且不为 1 ，此时报错。
res = np.ones((3,2))
'''
[[1., 1.],
[1., 1.],
[1., 1.]]
'''
res * np.array([[2,3]]) # 扩充第一维度为3
'''
np的矩阵乘法是对应位置的元素相乘，不是数学上的矩阵乘法
[[2., 3.],
[2., 3.],
[2., 3.]]
'''
res * np.array([[2],[3],[4]]) # 扩充第二维度为2
'''
[[2., 2.],
[3., 3.],
[4., 4.]]
'''
res * np.array([[2]]) # 等价于两次扩充
'''
[[2., 2.],
[2., 2.],
[2., 2.]]
'''
一维数组与二维数组的操作
当一维数组 AkAk 与二维数组 Bm,nBm,n 操作时，等价于把一维数组视作 A1,kA1,k 的二维数组，使用的广播法则与【b】中一致，当 k!=nk!=n 且 k,nk,n 都不是 11 时报错。
np.ones(3) + np.ones((2,3))
'''
[[2., 2., 2.],
[2., 2., 2.]]
'''
np.ones(3) + np.ones((2,1))
'''
[1, 1, 1], + [1]
[1, 1, 1] + [1]
=
2,2,2
2,2,2
'''
np.ones(1) + np.ones((2,3))
'''
[[2., 2., 2.],
[2., 2., 2.]]
'''
向量与矩阵的计算
向量内积： dot
a = np.array([1,2,3])
b = np.array([1,3,5])
a.dot(b) #22
向量范数和矩阵范数： np.linalg.norm
linalg=linear（线性）+algebra（代数），norm则表示范数。参数：
x_norm=np.linalg.norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)
x: 表示矩阵（也可以是一维）
ord：范数类型
-
axis：处理类型
axis=1表示按行向量处理，求多个行向量的范数
axis=0表示按列向量处理，求多个列向量的范数
axis=None表示矩阵范数。
-
keepding：是否保持矩阵的二维特性
True表示保持矩阵的二维特性，False相反
在矩阵范数的计算中，最重要的是 ord 参数，可选值如下：
| ord | norm for matrices | norm for vectors |
|---|---|---|
| None | Frobenius norm | 2-norm |
| ‘fro’ | Frobenius norm | –矩阵A各项元素的绝对值平方的总和， |
| ‘nuc’ | nuclear norm | – |
| inf | max(sum(abs(x), axis=1)) | max(abs(x)) |
| -inf | min(sum(abs(x), axis=1)) | min(abs(x)) |
| 0 | – | sum(x != 0) |
| 1 | max(sum(abs(x), axis=0)) | as below |
| -1 | min(sum(abs(x), axis=0)) | as below |
| 2 | 2-norm (largest sing. value) | as below |
| -2 | smallest singular value | as below |
| other | – | sum(abs(x)ord)(1./ord) |
martix_target = np.arange(4).reshape(-1,2)
'''
[[0, 1],
[2, 3]]
'''
np.linalg.norm(martix_target, 'fro') #3.7416573867739413
np.linalg.norm(martix_target, np.inf) #5.0
np.linalg.norm(martix_target, 2) #3.702459173643833
矩阵乘法 @
a = np.arange(4).reshape(-1,2)
'''
[[0, 1],
[2, 3]]
'''
b = np.arange(-4,0).reshape(-1,2)
'''
[[-4,-3],
[-2,-1]]
'''
a@b
'''
[[ -2, -1],
[-14, -9]]
'''
三 练习
Ex1：利用列表推导式写矩阵乘法
def my_func(i,j):
item = 0
for k in range(M1.shape[1]):
item += M1[i][k] * M2[k][j]
return item
res = [[my_func(i,j) for j in range(M2.shape[1])] for i in range(M1.shape[0])]
答案：
res = [[sum([M1[i][k] * M2[k][j] for k in range(M1.shape[1])]) for j in range(M2.shape[1])] for i in range(M1.shape[0])]
Ex2：更新矩阵
设矩阵 ，现在对 中的每一个元素进行更新生成矩阵 ，更新方法是 ，例如下面的矩阵为 ，则 ，请利用 Numpy 高效实现。
C = [[sum(1/A[i][j] for j in range(A.shape[1]))] for i in range(A.shape[0])]
B = A * C
答案：
B = A*(1/A).sum(1).reshape(-1,1)
Ex3：卡方统计量
设矩阵 ，记 ，定义卡方值如下：
请利用 Numpy 对给定的矩阵 A 计算 。
import numpy as np
np.random.seed(0)
A = np.random.randint(10, 20, (8, 5))
B = (A.sum(1).reshape(-1,1) @ A.sum(0).reshape(1,-1))/A.sum()
kafa = ((A-B) ** 2 / B).sum()
答案：
import numpy as np
np.random.seed(0)
A = np.random.randint(10, 20, (8, 5))
B = A.sum(0)*A.sum(1).reshape(-1, 1)/A.sum() #两个一维向量相乘会报错，但是加上reshape(-1,1)之后就会变成正常的矩阵乘法
kafa = ((A-B) ** 2 / B).sum()
Ex4：改进矩阵计算的性能
设为 的矩阵， 和 分别是 和 的矩阵， 为 的第 行， 为 的第 列，下面定义 ，其中 表示向量 的分量平方和 。
现有某人根据如下给定的样例数据计算 的值，请充分利用 Numpy 中的函数，基于此问题改进这段代码的性能。
np.random.seed(0)
m, n, p = 100, 80, 50
B = np.random.randint(0, 2, (m, p))
U = np.random.randint(0, 2, (p, n))
Z = np.random.randint(0, 2, (m, n))
def solution(B=B, U=U, Z=Z):
L_res = []
for i in range(m):
for j in range(n):
norm_value = ((B[i]-U[:,j])**2).sum()
L_res.append(norm_value*Z[i][j])
return sum(L_res)
print(solution(B, U, Z))
答案：
构造Y矩阵：
(((B**2).sum(1).reshape(-1,1) + (U**2).sum(0) - 2*B@U)*Z).sum()
Ex5：连续整数的最大长度
输入一个整数的 Numpy 数组，返回其中递增连续整数子数组的最大长度。例如，输入 [1,2,5,6,7]，[5,6,7]为具有最大长度的递增连续整数子数组，因此输出3；输入[3,2,1,2,3,4,6]，[1,2,3,4]为具有最大长度的递增连续整数子数组，因此输出4。请充分利用 Numpy 的内置函数完成。（提示：考虑使用 nonzero, diff 函数）
f=lambdax:np.diff(np.nonzero(np.r_[1,np.diff(x)!=1,1])).max()
参考：https://datawhalechina.github.io/joyful-pandas/build/html/%E7%9B%AE%E5%BD%95/ch1.html