【学习笔记】[JOISC2020] 星座 3

一眼笛卡尔树，这样我们得到了$O(nm)$的$DP$做法。

有一步 非常关键 的转化：考虑求能保留下来的星座的最大价值。

为什么要这么转化？因为这样好算贡献！

考虑优化，设$d{p}_{i,j}$表示$i$为根的子树，只考虑高度$\le j$的星星，能保留下来的星座的最大价值。

写出$DP$式子：

$1.1$ $d{p}_{i,j}=d{p}_{l,j}+d{p}_{r,h_i}$
$1.2$ $d{p}_{i,j}=d{p}_{r,j}+d{p}_{l,h_i}$
$1.3$ $d{p}_{i,j}=d{p}_{l,h_i}+d{p}_{r,h_i}+\text{val}(i,j)$

发现合法状态数目其实是 区间内星星的数量，并且 只需要保留$j\ge h_i$部分的$DP$值 即可。

这个形式非常优美，直接写一发线段树合并即可。

复杂度$O(n\log n)$。

$\text{remark}$ 第一步转化真的非常重要！！否则后面的$DP$式子有很大一堆！就因为这个我自闭了一天。

#include
#define fi first
#define se second
#define ll long long
#define pb push_back
#define db double
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=2e5+5;
const int M=N*40;
int n,m,tot,rt[N],h[N];
int nxt[N],sum[N];
//建立笛卡尔树即可
struct node{
    int l,r;
    ll max,add;
}t[M];
vector<pair<int,int>>points[N];
int s[N],cnt,ls[N],rs[N];
void build(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int tmp=0;
        while(cnt&&h[s[cnt]]<h[i])tmp=s[cnt--];
        ls[i]=tmp;if(cnt)rs[s[cnt]]=i;
        s[++cnt]=i;
    }
}
void add(int p,ll x){
    if(!p)return;t[p].max+=x,t[p].add+=x;
}
void pushup(int p){
    t[p].max=max(t[t[p].l].max,t[t[p].r].max);
}
void pushdown(int p){
    if(t[p].add)add(t[p].l,t[p].add),add(t[p].r,t[p].add),t[p].add=0;
}
ll query(int p,int l,int r,int ql,int qr){
    if(!p||ql>qr)return 0;
    if(ql<=l&&r<=qr)return t[p].max;
    int mid=l+r>>1;pushdown(p);
    if(qr<=mid)return query(t[p].l,l,mid,ql,qr);
    if(mid<ql)return query(t[p].r,mid+1,r,ql,qr);
    return max(query(t[p].l,l,mid,ql,qr),query(t[p].r,mid+1,r,ql,qr));
}
void modify(int &p,int l,int r,int x,ll y){
    if(!p)p=++tot;
    if(l==r){
        t[p].max=max(t[p].max,y);
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;pushdown(p);
    x<=mid?modify(t[p].l,l,mid,x,y):modify(t[p].r,mid+1,r,x,y);
    pushup(p);
}
int merge(int p,int q,int l,int r){
    if(!p||!q)return p+q;
    if(l==r){
        t[p].max=max(t[p].max,t[q].max);
        return p;
    }
    int mid=l+r>>1;pushdown(p),pushdown(q);
    t[p].l=merge(t[p].l,t[q].l,l,mid),t[p].r=merge(t[p].r,t[q].r,mid+1,r);
    pushup(p);return p;
}
void solve(int u){
    if(!u)return;
    int l=ls[u],r=rs[u];
    solve(l),solve(r);
    ll c1=query(rt[l],1,n,1,h[u]),c2=query(rt[r],1,n,1,h[u]);
    add(rt[l],c2),add(rt[r],c1);
    for(auto x:points[u])modify(rt[u],1,n,x.fi,x.se+c1+c2);
    modify(rt[u],1,n,h[u],c1+c2);
    rt[u]=merge(merge(rt[l],rt[r],1,n),rt[u],1,n);
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>h[i];
    ll sum=0;
    cin>>m;for(int i=1;i<=m;i++){
        int x,y,c;cin>>x>>y>>c;sum+=c;
        points[x].pb({y,c});
    }
    build();solve(s[1]);cout<<sum-t[rt[s[1]]].max;
}