如何理解最小二乘法？

最小平方法是十九世纪统计学的主题曲。 从许多方面来看, 它之于统计学就相当于十八世纪的微积分之于数学。

1 日用而不知

来看一个生活中的例子。比如说，有五把尺子：

1

用它们来分别测量一线段的长度，得到的数值分别为（颜色指不同的尺子）：

2

之所以出现不同的值可能因为：

不同厂家的尺子的生产精度不同

尺子材质不同，热胀冷缩不一样

测量的时候心情起伏不定

......

总之就是有误差，这种情况下，一般取平均值来作为线段的长度：

3

日常中就是这么使用的。可是作为很事'er的数学爱好者，自然要想下：

这样做有道理吗？

用调和平均数行不行？

用中位数行不行？

用几何平均数行不行？

2 最小二乘法

换一种思路来思考刚才的问题。

首先，把测试得到的值画在笛卡尔坐标系中，分别记作yi：

4

其次，把要猜测的线段长度的真实值用平行于横轴的直线来表示（因为是猜测的，所以用虚线来画），记作y：

5

6

7

7

8

自然，总的误差也是在不断变化的。

法国数学家，阿德里安-馬里·勒讓德提出让总的误差的平方最小的

 就是真值，这是基于如果误差是随机的，应该围绕真值上下波动这就是最小二乘法，即：

1

就是最小二乘法，所谓“二乘”就是平方的意思，台湾直接翻译为最小平方法。

3 推广 拟合

比如温度与冰淇淋的销量：

1

看上去像是某种线性关系：

2

可以假设这种线性关系为：

3

通过最小二乘法的思想：

4

5

6

7

同一组数据，选择不同的f(x) ，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线（出处）：

8

不同的数据，更可以选择不同的f(x)  ，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线：

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 f(x) 也不能选择任意的函数，还是有一些讲究的，这里就不介绍了。

https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/81127117