1456: 3.3.5 A Game 游戏

1456: 3.3.5 A Game 游戏

思路：怎么思考？这个题不是简单的动态规划，仔细想想，拿走一个，这一个的左边或者右边就暴露出来，另一个人就可以选这个，那就看这个大还是不大了。之前思考的方向是dp[i]代表第i次取的时候最大的得分，但是这样想显然是错误的，因为它不具备无后效性。所以就没有思路了，就不会了
这实际上是个区间dp的题。就是有一段数，我要选从1_{n的最优解，那么其实我需要知道从i}j（i和j都属于1~n）的所有的最优解，然后再写一个状态转移方程就好了。
所以难点有两个：一个是得想到是区间dp；另一个是得想出来状态转移方程。
区间dp已经写了为什么是区间dp，现在就再想想状态转移方程咋写，dp[i]或者dp[i][j]表示什么。
已经说了是区间dp，所以肯定是dp[l][r]。题目说要以第二位玩家为出发点找最优策略，但是随便想一下就第二位玩家的最终得分+第一位玩家的最终得分=总分，前缀和sum[n]。所以直接找第一位玩家的最终得分即可。
那就假设dp[i]表示第一位玩家在i~j的最大得分。
怎么写状态转移方程呢？
dp[i][j]表示在区间i_{j上第一位玩家获得的最大分数，那第二位玩家在i}j区间上获得的最大分数就是sum[i][j]-dp[i][j]。这根本不是区间dp的解法，更不是状态转移方程，因为dp[i][j]也不知道，更不用提第二位玩家的最大分数了。
仔细想想（仔细思考加看答案后在思考半下午），发现：在dp[i][j]上，先手肯定要先拿一个，然后再是后手拿一个。其实如果dp[i][j]表示先手在i_{j上的最大得分的话：假设先手先拿一个，可能是最左边的，也可能是最右边的，所以区间变成dp[i][j-1]或者dp[i+1][j]。此时如果在这两个区间上再考虑的话，此时先手已经拿了一个了，那此时应该是后手再拿，此时后手变前手，所以我要求dp[i][j]的话，会且仅会有两种可能：先拿左边的或者先拿右边的。拿完之后，考虑dp[i][j-1]和dp[i+1][j]就是后手变前手，sum[i][j]-dp[i][j-1]和sum[i][j]-dp[i+1][j]是什么呢？dp[i][j-1]是后手变成了前手，他的最大的得分，实际上还是后手的最大得分。所以用i}j的和-后手的最大得分就是前手的最大得分。
故状态转移方程为：
dp[i][j]=max(sum[i][j]-dp[i+1][j], sum[i][j]-dp[i][j-1])
sum[i][j]可以用前缀和sum[j]-sum[i-1]。

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 102;
int dp[N][N],a[N],sum[N];
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i],
		dp[i][i]=a[i],
		sum[i]=sum[i-1]+a[i];
	for(int len=2;len<=n;len++)
		for(int l=1;l+len-1<=n;l++){
			int r=l+len-1;
			dp[l][r]=sum[r]-sum[l-1]-min(dp[l][r-1],dp[l+1][r]);
		}
	cout<<dp[1][n]<<" "<<sum[n]-dp[1][n]; 
}