最小二乘拟合椭圆

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1.拟合椭圆

  二次曲线的一般方程为：
$$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$$

  令：
$$\Delta =B^2-4AC$$
那么，当$\Delta >0$时方程表示双曲线；当$\Delta =0$时方程表示抛物线；当$\Delta <0$时方程表示椭圆。
  即对于椭圆的一般方程：
$$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$$
需要有约束条件：
$$\Delta =B^2-4AC<0$$
  称二元函数$f(x,y)$ 为点$(x,y)$到椭圆的代数距离，$f(x,y)$的表达式为：
$$f(x,y)=A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F$$
如果令向量$a$为：
$$a=[A，B，C，D，E，F{]}^T$$
令向量$x$为：
$$x=[x^2，xy，y^2，x，y，1]$$
那么椭圆的一般方程就可以改写为：
$$a\cdot x=0$$

  即代数距离为：$a\cdot x$。设有$N$个数据点：$(x_i，y_i)，i=1，2，3\dots N$，那么如果要求最佳拟合的椭圆，便需要求${\sum }_{i=1}^N(a\cdot X_i{)}^2$的最小值。这可以运用最小二乘法求解，但所得到的结果是圆锥曲线而不是一定椭圆。
  所以，如果要获得椭圆解，就需要加入约束条件：
$$\Delta =B^2-4AC<0$$
  一般地，在一个合适的尺度下，上述形式为不等式的约束条件可以转化为形式为等式的约束条件，即有：
$$B^2-4AC=-1$$
  那么，如果定义一个$N\times 6$的矩阵$D$：
D = [ x 1 2 x 1 y 1 y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 x 2 y 2 y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 x 3 y 3 y 3 2 x 3 y 3 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ x n 2 x n y n y n 2 x n y n 1 ] D=\left[ \begin{matrix} x_1^2& x_1y_1 & y_1^2 &x_1&y_1&1 \\ x_2^2& x_2y_2 & y_2^2 &x_2&y_2&1 \\ x_3^2& x_3y_3 & y_3^2 &x_3&y_3&1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots& \vdots& \vdots \\ x_n^2& x_ny_n & y_n^2 &x_n&y_n&1 \\ \end{matrix} \right] D= ​x12​x22​x32​⋮xn2​​x1​y1​x2​y2​x3​y3​⋮xn​yn​​y12​y22​y32​⋮yn2​​x1​x2​x3​⋮xn​​y1​y2​y3​⋮yn​​111⋮1​ ​
  定义一个$6\times 6$的矩阵$C$：
C = [ 0 0 2 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] C=\left[ \begin{matrix} 0& 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 &0 \\ 2& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right] C= ​002000​0−10000​200000​000000​000000​000000​ ​
那么，约束条件就可以写为：
$${\bar{a}}^{T}C\bar{a}=1$$
在此条件下，求下式的最小值：
$$||D\bar{a}|{|}^2={\bar{a}}^T{D}^{T}D\bar{a}$$
构造拉格朗日函数为：
$$L(D,\lambda )={\bar{a}}^T{D}^T\bar{a}-\lambda ({\bar{a}}^{T}C\bar{a}-1)$$
为求极值，可令偏导数为0：
$$\frac{\delta L(D,\lambda )}{\delta \bar{a}}=D^{T}D\bar{a}-\lambda C\bar{a}=0$$
于是：
$$D^{T}D\bar{a}=\lambda C\bar{a}$$
如果令：
$$S=D^{T}D$$
那么，等式就可以化为：
$$Sa=\lambda Ca$$
如果$S$可逆，并且令$X=S^{-1}C$，那么可以将其转化为求取矩阵的特征值的形式：
$$Xa=\frac{1}{\lambda }a$$
可以知道，上面的矩阵$X$为6 阶方阵，其特征多项式为6 阶多项式。
  事实上，可以证明，问题的结果对应着$X$的特征值的绝对值最大的特征向量。
在实际操作中，是可以采用求极限的算法进行求解的。
  如果矩阵$X$有$n$个不同的特征值：${\lambda }_1，{\lambda }_2，{\lambda }_3，\dots ，{\lambda }_n$其对应的特征向量分别为：
$$a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n$$
  可以知道，这些特征向量线性无关，于是，$n$维向量$x$可以表示为：
$$x=k_1{a}_1+k_2{a}_2+k_3{a}_3+...+k_n{a}_n$$
那么，可以得到：
$$X^{m}x=k_1^m{a}_1+k_2^m{a}_2+k_3^m{a}_3+...+k_n^m{a}_n$$
  令$k$为$k_1,k_2,k_3\dots k_n$ 中的绝对值最大的值，其对应的特征向量为$a$，即：
$$k=max(|k_1|，|k_2|，|k_3|，\dots ，|k_n|)$$
那么，当$m\to +\infty$时，有$X^{m}m\to k^{m}a$。所得的$a$即为所求的椭圆的参数所组成的向量。

2.示例代码

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