文章目录
1. 树形结构
1.1 概念
树是一种非线性的数据结构 ，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的 。它具有以下的特点：
有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点
除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是递归定义的。
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点孩
子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林
1.2 树的表示形式
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法 。
classNode{
intvalue;// 树中存储的数据NodefirstChild;// 第一个孩子引用NodenextBrother;// 下一个兄弟引用}
1.3 树的应用
文件系统管理（目录和文件）
2. 二叉树
2.1 概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉
树组成。
二叉树的特点：
1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。
2.2 二叉树的基本形态
一般二叉树都是由以下几个基本形态结合而形成的。
2.3 两种特殊的二叉树
满二叉树 : 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
完全二叉树 : 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
2.4 二叉树的性质
若规定根节点的层数为1 ，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2i-1 (i>0)个结点
若规定只有根节点的二叉树的深度为1 ，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2k -1(k>=0)
对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2 (n+1) 上取整
对于具有n个结点的完全二叉树 ，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号 ，则对于序号为i的结点有 ：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
若2i+1 若2i+2 比如：假设一棵完全二叉树中总共有1000个 节点，则该二叉树中500个叶子节点，500个非叶子节点，1个节点只有左孩子，0个只有右孩子。 2.5 二叉树的存储 二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。 顺序存储 存储的是完全二叉树 二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下： // 孩子表示法class Node { intval;// 数据域Nodeleft;// 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Noderight;// 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树}// 孩子双亲表示法class Node { intval;// 数据域Nodeleft;// 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Noderight;// 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树Nodeparent;// 当前节点的根节点} 2.6 二叉树的遍历 如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式： NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。 LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。 LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。 2.7 二叉树的基本操作 第一步: 首先这里我们用穷举法先来创建一个二叉树来测试这些操作. packageBinaryTree;class TreeNode{ publiccharval;publicTreeNodeleft;publicTreeNoderight;public TreeNode(char val){ this.val=val;}}publicclass BinaryTree { public TreeNode createTree() { TreeNodeA=newTreeNode('A');TreeNodeB=newTreeNode('B');TreeNodeC=newTreeNode('C');TreeNodeD=newTreeNode('D');TreeNodeE=newTreeNode('E');TreeNodeF=newTreeNode('F');TreeNodeG=newTreeNode('G');TreeNodeH=newTreeNode('H');A.left=B;A.right=C;B.left=D;B.right=E;E.right=H;C.left=F;C.right=G;returnA;}} 此时的二叉树图形如图: 第二步: 用代码实现3种遍历二叉树的方法. // 前序遍历voidpreOrderTraversal(TreeNoderoot){ if(root==null){ return;}System.out.print(root.val+" ");preOrderTraversal(root.left);preOrderTraversal(root.right);}// 中序遍历voidinOrderTraversal(TreeNoderoot){ if(root==null){ return;}inOrderTraversal(root.left);System.out.print(root.val+" ");inOrderTraversal(root.right);}// 后序遍历voidpostOrderTraversal(TreeNoderoot){ if(root==null){ return;}postOrderTraversal(root.left);postOrderTraversal(root.right);System.out.print(root.val+" ");} 第三步: 两种方法求结点个数 // 遍历思路-求结点个数staticintsize=0;void getSize1(TreeNode root){ if(root==null){ return;}size++;getSize1(root.left);getSize1(root.right);}// 子问题思路-求结点个数int getSize2(TreeNode root){ if(root==null){ return0;}returngetSize2(root.left)+getSize2(root.right)+1;} 第四步: 两种方法求叶子结点的个数 // 遍历思路-求叶子结点个数staticintleafSize=0;void getLeafSize1(TreeNode root){ if(root==null){ return;}if(root.left==null&&root.right==null){ leafSize++;}getLeafSize1(root.left);getLeafSize1(root.right);}// 子问题思路-求叶子结点个数int getLeafSize2(TreeNode root){ if(root==null){ return0;}if(root.left==null&&root.right==null){ return1;}returngetLeafSize2(root.left)+getLeafSize2(root.right);} 第五步: 求第 k 层结点个数 intgetKLevelSize(TreeNoderoot,intk){ if(root==null){ return0;}if(k==1){ return1;}returngetKLevelSize(root.left,k-1)+getKLevelSize(root.right,k-1);} 第六步: 查找val所在的位置 // 查找 val 所在结点，没有找到返回 null// 按照 根 -> 左子树 -> 右子树的顺序进行查找// 一旦找到，立即返回，不需要继续在其他位置查找TreeNodefind(TreeNoderoot,charval){ if(root==null){ returnnull;}if(root.val==val){ returnroot;}TreeNoderet=find(root.left,val);if(ret!=null){ returnret;}ret=find(root.right,val);if(ret!=null){ returnret;}returnnull;} 第七步: 获取二叉树的高度 // 获取二叉树的高度int getHeight(TreeNode root){ if(root==null){ return0;}intleftHeight=getHeight(root.left);intrightHeight=getHeight(root.right);returnleftHeight>rightHeight?leftHeight+1:rightHeight+1;} 第八步: 运行测试结果 publicstaticvoidmain(String[]args){ BinaryTreebinaryTree=newBinaryTree();TreeNoderoot=binaryTree.createTree();System.out.print("前序遍历结果: ");binaryTree.preOrderTraversal(root);System.out.println();System.out.print("中序遍历结果: ");binaryTree.inOrderTraversal(root);System.out.println();System.out.print("后序遍历结果: ");binaryTree.postOrderTraversal(root);System.out.println();binaryTree.getSize1(root);System.out.println("结点数: "+BinaryTree.size);intret=binaryTree.getSize2(root);System.out.println("结点数: "+ret);binaryTree.getLeafSize1(root);System.out.println("叶子节点数: "+BinaryTree.leafSize);intret1=binaryTree.getLeafSize2(root);System.out.println("叶子节点数: "+ret1);intret2=binaryTree.getKLevelSize(root,3);System.out.println("求k层节点数: "+ret2);TreeNodeb=binaryTree.find(root,'H');System.out.println(b.val);System.out.println("求二叉树的深度: "+binaryTree.getHeight(root));} 运行结果: 2.8 层序遍历 设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。 a) 层序遍历代码实现: // 层序遍历void levelOrderTraversal(TreeNode root){ if(root==null)return;Queue TreeNodetop=queue.poll();System.out.print(top.val+" ");if(top.left!=null)queue.offer(top.left);if(top.right!=null)queue.offer(top.right);}System.out.println();} b) 判断一棵树是不是完全二叉树 方法一思路: 1. 将树按照层序遍历的方法,放入队列中,不同的是将左右节点都放入队列中,不论节点是否为空都放入 2. 循环取出队首元素,如果队首为null就结束循环. 3. 如果此时队列不为空. ①队列还有节点,那么就不是完全二叉树 ②队列全是null,那么就是完全二叉树. 4. 循环结束那么就是true; 代码实现: boolean isCompleteTree(TreeNode root) { if(root==null)returntrue;Queue TreeNodetop=queue.poll();//左子树 和 右子树 都放入队列(不论是不是null)if(top!=null){ queue.offer(top.left);queue.offer(top.right);}else{ //如果队首为空就跳出循环break;}}//如果队不为空,说明是因为break结束的循环.那么就需要判断队里的元素while(!queue.isEmpty()){ TreeNodecur=queue.peek();//如果队首为空,就出队if(cur==null){ queue.poll();}else{ //遇到不为空的节点就表示不是完全二叉树.returnfalse;}}//队空既为true;returntrue;} 方法二思路: 1. 观察完全二叉树的图形我们可以看出来,每个节点要么有2个子节点,要么没有节点,要么就只有一个左节点没有右节点. 2. 遍历判断 ①如果左子树和右子树都不为空,就入队. ②如果左子树存在 右子树不存在,那么进行第二个判断. ③如果左子树不存在 右子树存在,那么直接false ④如果左子树右子树都不存在,那么也进入第二个判断. 3. 第二个判断,判断是否接下来的左子树和右子树都为空,如果不为空,就是false;一直为空就是true; 代码实现: boolean isCompleteTree1(TreeNode root) { Queue TreeNodetop=queue.poll();if(isComplete){ //1.都不为空 入队if(top.left!=null&&top.right!=null){ queue.offer(top.left);queue.offer(top.right);}elseif(top.left!=null&&top.right==null){ //2.左子树不为空,右子树为空,进入第二个判断isComplete=false;queue.offer(top.left);}elseif(top.left==null&&top.right!=null){ //3.左子树为空,右子树不为空,不符合完全二叉树概念falsereturnfalse;}else{ //4.左右子树都为空,进入第二个判断isComplete=false;}}else{ //第2判断//如果后面的节点还有子树,那就不符合完全二叉树概念 falseif(top.left!=null||top.right!=null){ returnfalse;}}}//循环遍历结束,那就是满足条件,返回true;returntrue;} 2.9 前中后序的非递归实现 ①前序遍历 (非递归) // 前序遍历voidpreOrderTraversal(TreeNoderoot){ if(root==null)return;TreeNodecur=root;Stack while(cur!=null){ stack.push(cur);System.out.print(cur.val+" ");cur=cur.left;}TreeNodetop=stack.pop();cur=top.right;}} ②中序遍历 (非递归) // 中序遍历voidinOrderTraversal(TreeNoderoot){ if(root==null)return;Stack while(cur!=null){ stack.push(cur);cur=cur.left;}TreeNodetop=stack.pop();System.out.print(top.val+" ");cur=top.right;}} ③后序遍历 (非递归) // 后序遍历voidpostOrderTraversal(TreeNoderoot){ if(root==null)return;TreeNodecur=root;TreeNodepre=null;//用来指向上一个被打印的元素Stack while(cur!=null){ stack.push(cur);cur=cur.left;}cur=stack.peek();if(cur.right==null||pre==cur.right){ stack.pop();System.out.print(cur.val+" ");pre=cur;cur=null;}else{ cur=cur.right;}}}