多目标进化算法中的pareto解及pareto前沿介绍

多目标求解会筛选出一个相对较优的解的集合，在这个集合里就要用到pareto找出相对优的解或者最优解。

多目标优化问题的数学模型一般可以写成如下形式:

fig1 多目标优化问题的数学模型

fig 2

        fig 2表示n个目标函数，目标是都使之达到最小。

fig 3

        fig 3是其变量的约束集合，可以理解为变量的取值范围，下面介绍具体的解之间的支配，占优关系。

1：解A优于解B（解A强帕累托支配解B）

        假设现在有两个目标函数，解A对应的目标函数值都比解B对应的目标函数值好，则称解A比解B优越，也可以叫做解A强帕累托支配解B，举个例子，就很容易懂了.

       下图中代表的是两个目标的的解的情况，横纵坐标表示两个目标函数值，E点表示的解所对应的两个目标函数值都小于C，D两个点表示的解所对应的两个目标函数值，所以解E优于解C,D.

2：解A无差别于解B（解A能帕累托支配解B）

        同样假设两个目标函数，解A对应的一个目标函数值优于解B对应的一个目标函数值，但是解A对应的另一个目标函数值要差于解B对应的一个目标函数值，则称解A无差别于解B，也叫作解A能帕累托支配解B，举个例子，还是上面的图，点C和点D就是这种情况，C点在第一个目标函数的值比D小，在第二个函数的值比D大。

3：最优解

        假设在设计空间中，解A对应的目标函数值优越其他任何解，则称解A为最优解，举个例子，下图的x1就是两个目标函数的最优解，使两个目标函数同时达到最小，但是前面也说过，实际生活中这种解是不可能存在的。真要存在就好了，由此提出了帕累托最优解.

4：帕累托最优解

同样假设两个目标函数，对于解A而言，在 变量空间 中找不到其他的解能够优于解A（注意这里的优于一定要两个目标函数值都优于A对应的函数值），那么解A就是帕累托最优解.

        举个例子，下图中应该找不到比 x1 对应的目标函数都小的解了吧，即找不到一个解优于 x1 了，同理也找不到比 x2 更优的解了，所以这两个解都是帕累托最优解，实际上，x1-x2 这个范围的解都是帕累托最优解，不信自己慢慢想。因此对于多目标优化问题而言，帕累托最优解只是问题的一个可接受解，一般都存在多个帕累托最优解，这个时候就需要人们自己决策了。

5：帕累托最优前沿

还是看 刚才 那张图 ，如下图所示，更好的理解一下帕累托最优解，实心点表示的解都是帕累托最优解，所有的帕累托最优解构成帕累托最优解集，这些解经目标函数映射构成了该问题的Pareto最优前沿或Pareto前沿面，说人话，即帕累托最优解对应的目标函数值就是帕累托最优前沿。

对于两个目标的问题，其Pareto最优前沿通常是条线。而对于多个目标，其Pareto最优前沿通常是一个超曲面。

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