8.3 非正弦波发生电路
在实用电路中除了常见的正弦波外，还有矩形波、三角波、锯齿波、尖顶波和阶梯波，如图8.3.1所示。
一、矩形波发生电路
矩形波发生电路是其它非正弦波发生电路的基础，例如，若方波电压加在积分运算电路的输入端，则输出就获得三角波电压；若改变积分电路正向积分和反向积分时间常数，使某一方向的积分常数趋于零，则可获得锯齿波。
1、电路组成及工作原理
因为矩形波电压只有两种状态，不是高电平，就是低电平，所以电压比较器是它的重要组成部分；因为产生振荡，就是要求输出的两种状态自动地相互转换，所以电路中必须引入反馈；因为输出状态应按一定的时间间隔交替变化，即产生周期性变化，所以电路中要有延迟环节来确定每种状态维持的时间。图8.3.2所示为矩形波发生电路，它由反相输入的滞回比较器和 R C RC RC 电路组成。 R C RC RC 回路既作为延迟环节，又作为反馈网络，通过 R C RC RC 充放电实现输出状态的自动转换。
图中滞回比较器的输出电压 u O = ± U Z u_{\scriptscriptstyle O}=±U_{\scriptscriptstyle Z} uO=±UZ，阈值电压 ± U T = ± R 1 R 1 + R 2 ⋅ U Z ( 8.3.1 ) ±U_{\scriptscriptstyle T}=±\frac{R_1}{R_1+R_2}\cdot U_{\scriptscriptstyle Z}\kern 20pt(8.3.1) ±UT=±R1+R2R1⋅UZ(8.3.1)因而电压传输特性如图8.3.3所示。
设某一时刻输出电压 u O = + U Z u_{\scriptscriptstyle O}=+U_{\scriptscriptstyle Z} uO=+UZ，则同相输入端电位 u P = + U T u_{\scriptscriptstyle P}=+U_{\scriptscriptstyle T} uP=+UT。 u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 通过 R 3 R_3 R3 对电容 C C C 正向充电，如图中实线箭头所示。反相输入端电位 u N u_{\scriptscriptstyle N} uN 随时间 t t t 增长而逐渐升高，当 t t t 趋近于无穷时， u N u_{\scriptscriptstyle N} uN 趋于 + U Z +U_{\scriptscriptstyle Z} +UZ；但是，一旦 u N = + U T u_{\scriptscriptstyle N}=+U_{\scriptscriptstyle T} uN=+UT，再稍增大， u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 就从 + U Z +U_{\scriptscriptstyle Z} +UZ 跃变为 − U Z -U_{\scriptscriptstyle Z} −UZ，与此同时 u P u_{\scriptscriptstyle P} uP 从 + U T +U_{\scriptscriptstyle T} +UT 跃变为 − U T -U_{\scriptscriptstyle T} −UT。随后， u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 又通过 R 3 R_3 R3 对电容 C C C 反向充电，或者说放电，如图中虚线箭头所示。反相输入端电位 u N u_{\scriptscriptstyle N} uN 随时间 t t t 增长而逐渐降低，当 t t t 趋近于无穷时， u N u_{\scriptscriptstyle N} uN 趋于 − U Z -U_{\scriptscriptstyle Z} −UZ；但是，一旦 u N = − U T u_{\scriptscriptstyle N}=-U_{\scriptscriptstyle T} uN=−UT，再稍减小， u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 就从 − U Z -U_{\scriptscriptstyle Z} −UZ 跃变为 + U Z +U_{\scriptscriptstyle Z} +UZ，与此同时 u P u_{\scriptscriptstyle P} uP 从 − U T -U_{\scriptscriptstyle T} −UT 跃变为 + U T +U_{\scriptscriptstyle T} +UT，电容又开始正向充电。上述过程周而复始，电路产生了自激振荡。
2、波形分析及主要参数
由于图8.3.2所示电路中电容正向充电与反向充电的时间常数均为 R C RC RC，而且充电的总幅值也相等，因而在一个周期内 u O = + U Z u_{\scriptscriptstyle O}=+U_{\scriptscriptstyle Z} uO=+UZ 的时间与 u O = − U Z u_{\scriptscriptstyle O}=-U_{\scriptscriptstyle Z} uO=−UZ 的时间相等， u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 为对称的方波，所以也称该电路为方波发生电路。电容上电压 u C u_{\scriptscriptstyle C} uC（即集成运放反相输入端电位 u N u_{\scriptscriptstyle N} uN）和电路输出电压 u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 波形如图8.3.4所示。矩形波的宽度 T k T_k Tk 与周期 T T T 之比称为占空比，因此 u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 是占空比为 1 / 2 1/2 1/2 的矩形波。
根据电容上电压波形可知，在二分之一周期内，电容充电的起始值为 − U T -U_{\scriptscriptstyle T} −UT，终了值为 + U T +U_{\scriptscriptstyle T} +UT，时间常数为 R 3 C R_3C R3C；时间 t t t 趋于无穷大时， u C u_{\scriptscriptstyle C} uC 趋于 + U Z +U_{\scriptscriptstyle Z} +UZ，利用一阶 R C RC RC 电路的三要素法 f ( t ) = f ( ∞ ) + [ f ( 0 + ) − f ( ∞ ) ] e − t / τ f(t)=f(\infty)+[f(0_+)-f(\infty)]e^{-t/\tau} f(t)=f(∞)+[f(0+)−f(∞)]e−t/τ可列出方程 + U T = U Z + ( − U T − U Z ) e − T / 2 R 3 C +U_{\scriptscriptstyle T}=U_{\scriptscriptstyle Z}+(-U_T-U_{Z})e^{-\frac{T/2}{R_3C}} +UT=UZ+(−UT−UZ)e−R3CT/2将式（8.3.1）代入上式，即可求出振荡周期 T = 2 R 3 C ln ( 1 + 2 R 1 R 2 ) ( 8.3.2 ) T=2R_3C\ln(1+\frac{2R_1}{R_2})\kern 30pt(8.3.2) T=2R3Cln(1+R22R1)(8.3.2)振荡频率 f = 1 / T f=1/T f=1/T。
通过以上分析可知，调整电压比较器的电路参数 R 1 R_1 R1 和 R 2 R_2 R2 可以改变 u C u_{\scriptscriptstyle C} uC 的幅值，调整电阻 R 1 R_1 R1、 R 2 R_2 R2、 R 3 R_3 R3 和电容 C C C 的数值可以改变电路的振荡频率。而要调整输出电压 u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 的振幅，则要更换稳压管以改变 U Z U_{Z} UZ，此时 u C u_{\scriptscriptstyle C} uC 的幅值也将随之变化。
3、占空比可调电路
通过对方波发生电路的分析，可知，欲改变输出电压的占空比，就必须使电容正向充电和反向充电的时间常数不同，即两个充电回路的参数不同。利用二极管的单向导电性可以引导电流流经不同的通路，占空比可调的矩形波发生电路如图8.3.5(a)所示，电容上电压和输出电压波形如图（b）所示。
当 u O = + U Z u_{\scriptscriptstyle O}=+U_Z uO=+UZ 时， u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 通过 R w 1 R_{w1} Rw1、 D 1 D_1 D1 和 R 3 R_3 R3 对电容 C C C 正向充电，若忽略二极管导通时的等效电阻，则时间常数 τ 1 ≈ ( R w 1 + R 3 ) C \tau_1\approx(R_{w1}+R_3)C τ1≈(Rw1+R3)C当 u O = − U Z u_{\scriptscriptstyle O}=-U_{Z} uO=−UZ 时， u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 通过 R w 2 R_{w2} Rw2、 D 2 D_2 D2 和 R 3 R_3 R3 对电容 C C C 反向充电，若忽略二极管导通时的等效电阻，则时间常数 τ 2 ≈ ( R w 2 + R 3 ) C \tau_2\approx(R_{w2}+R_3)C τ2≈(Rw2+R3)C利用一阶 R C RC RC 电路的三要素法可以解出 { T 1 ≈ τ 1 ln ( 1 + 2 R 1 R 2 ) ( 8.3.3 a ) T 2 ≈ τ 2 ln ( 1 + 2 R 1 R 2 ) ( 8.3.3 b ) \left\{\begin{matrix}T_1\approx\tau_1\ln(1+\displaystyle\frac{2R_1}{R_2})\kern 25pt(8.3.3a)\\T_2\approx\tau_2\ln(1+\displaystyle\frac{2R_1}{R_2})\kern 25pt(8.3.3b)\end{matrix}\right. ⎩ ⎨ ⎧T1≈τ1ln(1+R22R1)(8.3.3a)T2≈τ2ln(1+R22R1)(8.3.3b) T = T 1 + T 2 ≈ ( R w + 2 R 3 ) C ln ( 1 + 2 R 1 R 2 ) ( 8.3.4 ) T=T_1+T_2\approx(R_{w}+2R_3)C\ln(1+\frac{2R_1}{R_2})\kern 20pt(8.3.4) T=T1+T2≈(Rw+2R3)Cln(1+R22R1)(8.3.4)式（8.3.4）表明改变电位器的滑动端可以改变占空比，但周期不变。占空比为 q = T 1 T ≈ R w 1 + R 3 R w + 2 R 3 ( 8.3.5 ) q=\frac{T_1}{T}\approx\frac{R_{w1}+R_3}{R_w+2R_3}\kern 30pt(8.3.5) q=TT1≈Rw+2R3Rw1+R3(8.3.5)
【例8.3.1】在图8.3.5(a)所示电路中，已知 R 1 = R 2 = 25 k Ω R_1=R_2=25\,\textrm kΩ R1=R2=25kΩ， R 3 = 5 k Ω R_3=5\,\textrm kΩ R3=5kΩ， C = 0.1 μF C=0.1\,\textrm{μF} C=0.1μF， ± U Z = ± 8 V ±U_Z=±8\,\textrm V ±UZ=±8V。试求：
（1）输出电压的幅值和振荡频率约为多少；
（2）占空比的调节范围约为多少；
（3）若 D 1 D_1 D1 断路，则产生什么现象。
解： （1）输出电压 u O = ± 8 V u_{\scriptscriptstyle O}=±8\,\textrm V uO=±8V。振荡频率 T ≈ ( R w + 2 R 3 ) C ln ( 1 + 2 R 1 R 2 ) ≈ 12.1 ms T\approx(R_w+2R_3)C\ln(1+\frac{2R_1}{R_2})\approx12.1\,\textrm {ms} T≈(Rw+2R3)Cln(1+R22R1)≈12.1ms振荡频率 f = 1 / T ≈ 83 Hz f=1/T\approx83\,\textrm {Hz} f=1/T≈83Hz
（2）当 R w 1 R_{w1} Rw1 为最小值 0 时，可得 q q q 的最小值 q m i n = T 1 T ≈ R w 1 + R 3 R w + 2 R 3 ≈ 0.045 q_{min}=\frac{T_1}{T}\approx\frac{R_{w1}+R_3}{R_w+2R_3}\approx0.045 qmin=TT1≈Rw+2R3Rw1+R3≈0.045当 R w 1 R_{w1} Rw1 为最大值 100 k Ω 100\,\textrm kΩ 100kΩ 时，可得 q q q 的最大值 q m a x = T 1 T ≈ R w 1 + R 3 R w + 2 R 3 ≈ 0.95 q_{max}=\frac{T_1}{T}\approx\frac{R_{w1}+R_3}{R_w+2R_3}\approx0.95 qmax=TT1≈Rw+2R3Rw1+R3≈0.95占空比 T 1 / T ≈ 0.45 ∼ 0.95 T_1/T\approx0.45\sim0.95 T1/T≈0.45∼0.95。
（3）若 D 1 D_1 D1 断路，则电路不振荡，输出电压 u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 恒为 + U Z +U_{Z} +UZ。因为在 D 1 D_1 D1 断路的瞬间，若 u O = + U Z u_{\scriptscriptstyle O}=+U_{Z} uO=+UZ，电容电压将不变，则 u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 保持 + U Z +U_Z +UZ 不变；若 u O = − U Z u_{\scriptscriptstyle O}=-U_Z uO=−UZ，则电容仅有反向充电回路，必将使 u N < u P u_{\scriptscriptstyle N}
二、三角波发生电路
1、电路的组成
在方波发生电路中，当滞回比较器的阈值电压数值较小时，可将电容两端的电压看成为近似三角波。但是，一方面这个三角波的线性度较差，另一方面带负载后将使电路的性能产生变化。实际上，只要将方波电压作为积分运算电路的输入，在其输出就可得到三角波电压，如图8.3.6(a)所示。当方波发生电路的输出电压 u O 1 = + U Z u_{\scriptscriptstyle O1}=+U_Z uO1=+UZ 时，积分运算电路的输出电压 u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 将线性下降；而当 u O 1 = − U Z u_{\scriptscriptstyle O1}=-U_Z uO1=−UZ 时， u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 将线性上升；波形如图（b）所示。
由于图8.3.6(a)所示电路中存在 R C RC RC 电路和积分电路两个延迟环节，在实用电路中，将它们 “合二为一”，即去掉方波发生电路中的 R C RC RC 回路，使积分运算电路既作为延迟环节，又作为方波变三角波电路，滞回比较器和积分运算电路的输出互为另一个电路的输入，如图8.3.7所示。由图8.3.4和图8.3.6(b)所示波形可知，前者 R C RC RC 回路充电方向与后者积分电路的积分方向相反，故为了满足极性的需要，滞回比较器改为同相输入。
2、工作原理
在图8.3.7所示三角波发生电路中，虚线左边为同相输入滞回比较器，右边为积分运算电路。对于由多个集成运放组成的应用电路，一般应首先分析每个集成运放所组成电路输出与输入的函数关系，然后分析各电路间的相互联系，在此基础上得出电路的功能。
图中滞回比较器的输出电压 u O 1 = ± U Z u_{\scriptscriptstyle O1}=±U_Z uO1=±UZ，它的输入电压是积分电路的输出电压 u O u_{\scriptscriptstyle O} uO，根据叠加原理，集成运放 A 1 A_1 A1 同相输入端的电位 u P 1 = R 2 R 1 + R 2 u O + R 1 R 1 + R 2 u O 1 = R 2 R 1 + R 2 u O ± R 1 R 1 + R 2 U Z u_{\scriptscriptstyle P1}=\frac{R_2}{R_1+R_2}u_{\scriptscriptstyle O}+\frac{R_1}{R_1+R_2}u_{\scriptscriptstyle O1}=\frac{R_2}{R_1+R_2}u_{\scriptscriptstyle O}±\frac{R_1}{R_1+R_2}U_Z uP1=R1+R2R2uO+R1+R2R1uO1=R1+R2R2uO±R1+R2R1UZ令 u P 1 = u N 1 = 0 u_{\scriptscriptstyle P1}=u_{\scriptscriptstyle N1}=0 uP1=uN1=0，则阈值电压 ± U T = ± R 1 R 2 U Z ( 8.3.6 ) ±U_T=±\frac{R_1}{R_2}U_Z\kern 40pt(8.3.6) ±UT=±R2R1UZ(8.3.6)因此，滞回比较器的电压传输特性如图8.3.8所示。
积分电路的输入电压是滞回比较器的输出电压 u O 1 u_{\scriptscriptstyle O1} uO1，而且 u O 1 u_{\scriptscriptstyle O1} uO1 不是 + U Z +U_Z +UZ，就是 − U Z -U_Z −UZ，所示输出电压的表达式为 u O = − 1 R 3 C u O 1 ( t 1 − t 0 ) + u O ( t 0 ) ( 8.3.7 ) u_{\scriptscriptstyle O}=-\frac{1}{R_3C}u_{\scriptscriptstyle O1}(t_1-t_0)+u_{\scriptscriptstyle O}(t_0)\kern 20pt(8.3.7) uO=−R3C1uO1(t1−t0)+uO(t0)(8.3.7)式中 u O ( t 0 ) u_{\scriptscriptstyle O}(t_0) uO(t0) 为初态时的输出电压。设初态时 u O 1 u_{\scriptscriptstyle O1} uO1 正好从 − U Z -U_Z −UZ 跃变为 + U Z +U_Z +UZ，则式（8.3.7）应写成 u O = − 1 R 3 C U Z ( t 1 − t 0 ) + u O ( t 0 ) ( 8.3.8 ) u_{\scriptscriptstyle O}=-\frac{1}{R_3C}U_Z(t_1-t_0)+u_{\scriptscriptstyle O}(t_0)\kern 20pt(8.3.8) uO=−R3C1UZ(t1−t0)+uO(t0)(8.3.8)积分电路反向积分， u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 随时间的增长线性下降，根据图8.3.8所示电压传输特性，一旦 u O = − U T u_{\scriptscriptstyle O}=-U_T uO=−UT，再稍减小， U O 1 U_{O1} UO1 将从 + U Z +U_Z +UZ 跃变为 − U Z -U_{Z} −UZ。使得式（8.3.7）变成为 u O = 1 R 3 C U Z ( t 2 − t 1 ) + u O ( t 1 ) ( 8.3.9 ) u_{\scriptscriptstyle O}=\frac{1}{R_3C}U_Z(t_2-t_1)+u_{\scriptscriptstyle O}(t_1)\kern 22pt(8.3.9) uO=R3C1UZ(t2−t1)+uO(t1)(8.3.9) u O ( t 1 ) u_{\scriptscriptstyle O}(t_1) uO(t1) 为 u O 1 u_{\scriptscriptstyle O1} uO1 产生跃变时的输出电压。积分电路正向积分， u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 随时间的增长线性增大，根据图8.3.8所示电压传输特性，一旦 u O = + U T u_{\scriptscriptstyle O}=+U_T uO=+UT，再稍增大， u O 1 u_{\scriptscriptstyle O1} uO1 将从 − U Z -U_Z −UZ 跃变为 + U Z +U_Z +UZ，回到初态，积分电路又开始反向积分。电路重复上述过程，因此产生自激振荡。
由以上分析可知， u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 是三角波，幅值为 ± U T ±U_T ±UT； u O 1 u_{\scriptscriptstyle O1} uO1 是方波，幅值为 ± U Z ±U_Z ±UZ，如图8.3.9所示，因此也可称图8.3.7所示电路为三角波-方波发生电路。由于积分电路引入了深度电压负反馈，所以在负载电阻相当大的变化范围内，三角波电压几乎不变。
3、振荡频率
根据图8.3.9所示波形可知，正向积分的起始值为 − U T -U_T −UT，终了值为 + U T +U_T +UT，积分时间为二分之一周期，将它们代入式（8.3.9），得出 + U T = 1 R 3 C U Z ⋅ T 2 + ( − U T ) +U_T=\frac{1}{R_3C}U_Z\cdot \frac{T}{2}+(-U_T) +UT=R3C1UZ⋅2T+(−UT)式中 U T = R 1 R 2 U Z U_T=\displaystyle\frac{R_1}{R_2}U_Z UT=R2R1UZ，经整理可得出振荡周期 T = 4 R 1 R 3 C R 2 ( 8.3.10 ) T=\frac{4R_1R_3C}{R_2}\kern 30pt(8.3.10) T=R24R1R3C(8.3.10)振荡频率 f = R 2 4 R 1 R 3 C ( 8.3.11 ) f=\frac{R_2}{4R_1R_3C}\kern 30pt(8.3.11) f=4R1R3CR2(8.3.11)调节电路中 R 1 R_1 R1、 R 2 R_2 R2、 R 3 R_3 R3 的阻值和 C C C 的容量，可以改变振荡频率；而调节 R 1 R_1 R1 和 R 2 R_2 R2 的阻值，可以改变三角波的幅值。
三、锯齿波发生电路
如果图8.3.7所示积分电路正向积分的时间常数远大于反向积分的时间常数，或者反向积分的时间常数远大于正向积分的时间常数，那么输出电压 u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 上升和下降的斜率相差很多，就可以获得锯齿波。利用二极管的单向导电性使积分电路两个方向的积分通路不同，就可得到锯齿波发生电路，如图8.3.10(a)所示。图中 R 3 R_3 R3 的阻值远小于 R w R_w Rw。
设二极管导通时的等效电阻可忽略不计，电位器的滑动端移到最上端。当 u O 1 = + U Z u_{\scriptscriptstyle O1}=+U_Z uO1=+UZ 时， D 1 D_1 D1 导通， D 2 D_2 D2 截止，输出电压的表达式为 u O = − 1 R 3 C U Z ( t 1 − t 0 ) + u O ( t 0 ) ( 8.3.12 ) u_{\scriptscriptstyle O}=-\frac{1}{R_3C}U_Z(t_1-t_0)+u_{\scriptscriptstyle O}(t_0)\kern 20pt(8.3.12) uO=−R3C1UZ(t1−t0)+uO(t0)(8.3.12) u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 随时间线性下降。当 u O 1 = − U Z u_{\scriptscriptstyle O1}=-U_Z uO1=−UZ 时， D 2 D_2 D2 导通， D 1 D_1 D1 截止，输出电压的表达式为 u O = 1 ( R 3 + R w ) C U Z ( t 2 − t 1 ) + u O ( t 1 ) ( 8.3.13 ) u_{\scriptscriptstyle O}=\frac{1}{(R_3+R_w)C}U_Z(t_2-t_1)+u_{\scriptscriptstyle O}(t_1)\kern 15pt(8.3.13) uO=(R3+Rw)C1UZ(t2−t1)+uO(t1)(8.3.13) u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 随时间线性上升。由于 R w > > R 3 R_w>>R_3 Rw>>R3， u O 1 u_{\scriptscriptstyle O1} uO1 和 u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 的波形如图（b）所示。
根据三角波发生电路振荡周期的计算方法，可以得出下降时间和上升时间，分别为 T 1 = t 1 − t 0 ≈ 2 ⋅ R 1 R 2 ⋅ R 3 C T_1=t_1-t_0\approx2\cdot\frac{R_1}{R_2}\cdot R_3C T1=t1−t0≈2⋅R2R1⋅R3C T 2 = t 2 − t 1 ≈ 2 ⋅ R 1 R 2 ⋅ ( R 3 + R w ) C T_2=t_2-t_1\approx2\cdot\frac{R_1}{R_2}\cdot(R_3+R_w)C T2=t2−t1≈2⋅R2R1⋅(R3+Rw)C所以振荡周期 T = 2 R 1 ( 2 R 3 + R w ) C R 2 ( 8.3.14 ) T=\frac{2R_1(2R_3+R_w)C}{R_2}\kern 20pt(8.3.14) T=R22R1(2R3+Rw)C(8.3.14)因为 R 3 R_3 R3 的阻值远小于 R w R_w Rw，所以可以认为 T ≈ T 2 T\approx T_2 T≈T2。
根据 T 1 T_1 T1 和 T T T 的表达式，可得 u O 1 u_{\scriptscriptstyle O1} uO1 的占空比 T 1 T = R 3 2 R 3 + R w ( 8.3.15 ) \frac{T_1}{T}=\frac{R_3}{2R_3+R_w}\kern 30pt(8.3.15) TT1=2R3+RwR3(8.3.15)调整 R 1 R_1 R1 和 R 2 R_2 R2 的阻值可以改变锯齿波的幅值；调整 R 1 R_1 R1、 R 2 R_2 R2 和 R w R_w Rw 的阻值以及 C C C 的容量，可以改变振荡周期；调整电位器滑动端的位置，可以改变 u O 1 u_{\scriptscriptstyle O1} uO1 的占空比，以及锯齿波上升和下降的斜率。
四、波形变换电路
从三角波和锯齿波发生电路的分析可知，这些电路构成的基本思路是将一种形状的波形变换成另一种形状的波形，即实现波形变换。只是由于电路中两个组成部分的输出互为另一部分的输入，因此产生了自激振荡。实际上，可以利用基本电路来实现波形的变换。例如，利用积分电路将方波变为三角波，利用微分电路将三角波变为方波，利用电压比较器将正弦波变为矩形波，利用模拟乘法器将正弦波变为二倍频，等等。
1、三角波变锯齿波电路
三角波电压如图8.3.11(a)，经波形变换电路所获得的二倍频锯齿波电压如图（b）所示。分析两个波形的关系可知，当三角波上升时，锯齿波与之相等，即 u O : u I = 1 : 1 ( 8.3.16 ) u_{\scriptscriptstyle O}:u_{\scriptscriptstyle I}=1:1\kern 40pt(8.3.16) uO:uI=1:1(8.3.16)当三角波下降时，锯齿波与之相反，即 u O : u I = − 1 : 1 ( 8.3.17 ) u_{\scriptscriptstyle O}:u_{\scriptscriptstyle I}=-1:1\kern 36pt(8.3.17) uO:uI=−1:1(8.3.17)因此，波形变换电路应为比例运算电路，当三角波上升时，比例系数为 1；当三角波下降时，比例系数为 -1；利用可控的电子开关，可以实现比例系数的变化。
三角波变锯齿波电路如图8.3.12所示，其中电子开关为示意图， u C u_{\scriptscriptstyle C} uC 是电子开关的控制电压，它与输入三角波电压的对应关系如图中所示。当 u C u_{\scriptscriptstyle C} uC 为低电平时，开关断开；当 u C u_{\scriptscriptstyle C} uC 为高电平时，开关闭合。分析含有电子开关的电路时，应分别求出开关断开和闭合两种情况下输出和输入间的函数关系，而且为了简单起见，常常忽略开关断开时的漏电流和闭合时的压降。
设开关断开，则 u I u_{\scriptscriptstyle I} uI 同时作用于集成运放的反相输入端和同相输入端，根据虚短和虚断的概念 u N = u P = R 5 R 3 + R 4 + R 5 ⋅ u I = u I 2 ( 8.3.18 ) u_{\scriptscriptstyle N}=u_{\scriptscriptstyle P}=\frac{R_5}{R_3+R_4+R_5}\cdot u_{\scriptscriptstyle I}=\frac{u_{\scriptscriptstyle I}}{2}\kern 20pt(8.3.18) uN=uP=R3+R4+R5R5⋅uI=2uI(8.3.18)列 N \textrm N N 点电流方程 u I − u N R 1 = u N R 2 + u N − u O R f ( 8.3.19 ) \frac{u_{\scriptscriptstyle I}-u_{\scriptscriptstyle N}}{R_1}=\frac{u_{\scriptscriptstyle N}}{R_2}+\frac{u_{\scriptscriptstyle N}-u_{\scriptscriptstyle O}}{R_f}\kern 30pt(8.3.19) R1uI−uN=R2uN+RfuN−uO(8.3.19)将 R 1 = R R_1=R R1=R、 R 2 = R / 2 R_2=R/2 R2=R/2、 R f = R R_f=R Rf=R 及式（8.3.18）代入，解得 u O = u I ( 8.3.20 ) u_{\scriptscriptstyle O}=u_{\scriptscriptstyle I}\kern 40pt(8.3.20) uO=uI(8.3.20)设开关闭合，则集成运放的同相输入端和反相输入端为虚地， u N = u P = 0 V u_{\scriptscriptstyle N}=u_{\scriptscriptstyle P}=0\,\textrm V uN=uP=0V，电阻 R 2 R_2 R2 中电流为零，等效电路是反相比例运算电路，因此 u O = − u I ( 8.3.21 ) u_{\scriptscriptstyle O}=-u_{\scriptscriptstyle I}\kern 36pt(8.3.21) uO=−uI(8.3.21)式（8.3.20）和（8.3.21）正好符合式（8.3.16）和（8.3.17）的要求，从而实现了将三角波转换成锯齿波。在实际电路中，可以利用图8.3.13所示电路取代图8.3.12所示电路中的开关，在电路参数一定的情况下，控制电压的幅值应足够大，以保证管子工作在开关状态；可以利用微分运算电路将输入的三角波转换为方波，用来作为电子开关的控制信号。
2、三角波变正弦波电路
（1）滤波法
在三角波电压为固定频率或频率变化范围很小的情况下，可以考虑采用低通滤波（或带通滤波）的方法将三角波变换为正弦波，电路框图如图8.3.14(a)所示。输入电压和输出电压的波形如图（b）所示， u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 的频率等于 u I u_{\scriptscriptstyle I} uI 基波的频率。
将三角波按傅立叶级数展开 u I ( ω t ) = ∑ n = 1 ∞ 8 n 2 π 2 U m sin n π 2 sin n ω t = 8 π 2 U m ( sin ω t − 1 9 sin 3 ω t + 1 25 sin 5 ω t − ⋯ ) u_{\scriptscriptstyle I}(\omega t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8}{n^2π^2}U_m\sin\frac{nπ}{2}\sin n\omega t=\frac{8}{π^2}U_m(\sin\omega t-\frac{1}{9}\sin3\omega t+\frac{1}{25}\sin5\omega t-\cdots) uI(ωt)=n=1∑∞n2π28Umsin2nπsinnωt=π28Um(sinωt−91sin3ωt+251sin5ωt−⋯)其中 U m U_m Um 是三角波的幅值。根据上式可知，低通滤波器的通带截止频率应大于三角波的基波频率且小于三角波的三次谐波频率。例如，若三角波的频率范围为 100 ∼ 200 Hz 100\sim200\,\textrm{Hz} 100∼200Hz，则低通滤波器的通带截止频率可取 250 Hz 250\,\textrm{Hz} 250Hz，带通滤波器的通频带可取 50 ∼ 250 Hz 50\sim250\,\textrm {Hz} 50∼250Hz。但是，如果三角波的最高频率超过其最低频率的三倍，就要考虑采用折线法来实现变换了。
（2）折线法
比较三角波和正弦波的波形，可以发现，在正弦波从零逐渐增大到峰值的过程中，与三角波的差别越来越大；即零附近的差别最小，峰值附近的差别最大。因此，根据正弦波与三角波的差别，将三角波分成若干段，按不同的比例衰减，就可以得到近似于正弦波的折线化波形，如图8.3.15所示。
根据上述思路，应采用比例系数可以自动调节的运算电路。利用二极管和电阻构成的反馈通路，可以随着输入电压的数值不同而改变电路的比例系数，如图8.3.16所示。由于反馈通路中有电阻 R f R_f Rf，即使电路中所有二极管均截止，负反馈仍然存在，故集成运放的反相输入端和同相输入端为虚地， u N = u P = 0 V u_{\scriptscriptstyle N}=u_{\scriptscriptstyle P}=0\,\textrm V uN=uP=0V。当 u I = 0 V u_{\scriptscriptstyle I}=0\,\textrm V uI=0V 时， u O = 0 V u_{\scriptscriptstyle O}=0\,\textrm V uO=0V；由于 + V C C +V_{CC} +VCC 和 − V C C -V_{CC} −VCC，所有二极管均截止；电阻阻值的选择应保证 u 1 < u 2 < u 3 u_1
u I u_{\scriptscriptstyle I} uI 为三角波的输入电压， u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 为折线化的正弦波输出电压，比例系数分别取 25 ° 25° 25°、 50 ° 50° 50°、 75 ° 75° 75°、 90 ° 90° 90° 时 u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 与 u I u_{\scriptscriptstyle I} uI 时的比值。
当 u I u_{\scriptscriptstyle I} uI 从零逐渐降低且 ∣ u I ∣ < 0.3 U m |u_{\scriptscriptstyle I}|<0.3U_m ∣uI∣<0.3Um， u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 从零逐渐升高，从而 u 1 、 u 2 u_1、u_2 u1、u2、 u 3 u_3 u3 也随之逐渐升高，但各二极管仍处于截止状态，根据图8.3.15所示曲线， u O = − u I u_{\scriptscriptstyle O}=-u_{\scriptscriptstyle I} uO=−uI，比例系数的值 ∣ k ∣ = ∣ u O u I ∣ = 1 |k|=\Big|\frac{u_{\scriptscriptstyle O}}{u_{\scriptscriptstyle I}}\Big|=1 ∣k∣= uIuO =1当 u I u_{\scriptscriptstyle I} uI 继续降低且 0.3 U m ≤ ∣ u I ∣ < 0.56 U m 0.3U_m\leq|u_{\scriptscriptstyle I}|<0.56U_m 0.3Um≤∣uI∣<0.56Um 时， D 1 D_1 D1 导通，此时的等效电路如图8.3.17所示。若忽略二极管的正向电阻，则 N \textrm N N 点的电流方程为 − u I R + V C C R 4 ≈ u O R f + u O R 1 \frac{-u_{\scriptscriptstyle I}}{R}+\frac{V_{CC}}{R_4}\approx\frac{u_{\scriptscriptstyle O}}{R_f}+\frac{u_{\scriptscriptstyle O}}{R_1} R−uI+R4VCC≈RfuO+R1uO
根据图8.3.15所示曲线， ∣ u O ∣ ≈ 0.89 u I |u_{\scriptscriptstyle O}|\approx0.89u_{\scriptscriptstyle I} ∣uO∣≈0.89uI。合理选择 R 4 R_4 R4，使 V C C R 4 = u O R f \frac{V_{CC}}{R_4}=\frac{u_{\scriptscriptstyle O}}{R_f} R4VCC=RfuO从而比例系数 ∣ k ∣ ≈ R 1 R ≈ 0.89 |k|\approx\frac{R_1}{R}\approx0.89 ∣k∣≈RR1≈0.89选择 R 1 ≈ 0.89 R R_1\approx0.89R R1≈0.89R，就可得到 ∣ u O ∣ ≈ 0.89 u I |u_{\scriptscriptstyle O}|\approx0.89u_{\scriptscriptstyle I} ∣uO∣≈0.89uI。
随着 u I u_{\scriptscriptstyle I} uI 逐渐降低， u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 逐渐升高， D 2 D_2 D2、 D 3 D_3 D3 依次导通，等效反馈电阻逐渐减小，比例系数的数值依次约为 0.77 0.77 0.77、 0.63 0.63 0.63。当 u I u_{\scriptscriptstyle I} uI 从负的峰值逐渐增大时， D 3 D_3 D3、 D 2 D_2 D2、 D 1 D_1 D1 依次截止，比例系数的数值依次约为 0.63 0.63 0.63、 0.77 0.77 0.77、 0.89 0.89 0.89、 1 1 1。
同理，当 u I u_{\scriptscriptstyle I} uI 逐渐升高， u O u_{\scriptscriptstyle O} uO 逐渐降低， D 1 ′ D'_1 D1′、 D 2 ′ D'_2 D2′、 D 3 ′ D'_3 D3′ 依次导通，等效反馈电阻逐渐减小，比例系数的数值依次约为 1 1 1、 0.89 0.89 0.89、 0.77 0.77 0.77、 0.63 0.63 0.63；当 u I u_{\scriptscriptstyle I} uI 从正的峰值逐渐减小时， D 3 ′ D'_3 D3′、 D 2 ′ D'_2 D2′、 D 1 ′ D'_1 D1′ 依次截止，比例系数的数值依次约为 0.63 0.63 0.63、 0.77 0.77 0.77、 0.89 0.89 0.89、 1 1 1；使输出电压接近正弦波的变化规律，波形如图所示，与输入三角波反相。
应当指出，为了使输出电压波形更接近于正弦波，应当将三角波的四分之一区域分成更多的线段，尤其是在三角波和正弦波差别明显的部分，然后再按正弦波的规律控制比例系数，逐段衰减。
需要注意的是，图8.3.16的折线化正弦波与图8.3.15有些不同，除了反相之外，图8.3.16所输出的折线化正弦波均为直接过原点的折线。
折线法的优点是不受输入电压频率范围的限制，便于集成化，缺点是反馈网络中电阻的匹配比较困难。
五、函数发生器
函数发生器是一种可以同时产生方波、三角波和正弦波的专用集成电路。当调节外部电路参数时，还可以获得占空比可调的矩形波和锯齿波。因此，广泛用于仪器仪表之中。下面以型号是 ICL8038 的函数发生器为例，介绍电路结构、工作原理、参数特点和使用方法。
1、电路结构
函数发生器 ICL8038 的电路结构如图8.3.18虚线框内所示，共有五个组成部分。两个电流源的电流分别为 I S 1 I_{S1} IS1 和 I S 2 I_{S2} IS2，且 I S 1 = I I_{S1}=I IS1=I， I S 2 = 2 I I_{S2}=2I IS2=2I；两个电压比较器Ⅰ和 Ⅱ 的阈值电压分别为 2 3 V C C \displaystyle\frac{2}{3}V_{CC} 32VCC 和 1 3 V C C \displaystyle\frac{1}{3}V_{CC} 31VCC，它们的输入电压等于电容两端的电压 u C u_{\scriptscriptstyle C} uC，输出电压分别控制 R S RS RS 触发器的 S S S 端和 R ‾ \overline R R 端； R S RS RS 触发器的状态输出端 Q Q Q 和 Q ‾ \overline Q Q 用来控制开关 S \textrm S S，实现对电容 C C C 的充放电；两个缓冲放大器用于隔离波形发生电路和负载，使三角波和矩形波输出端的输出电阻足够低，以增强带负载能力；三角波变正弦波电路用于获得正弦波电压。
除了 R S RS RS 触发器外，其余部分均可由前面所介绍的电路实现。 R S RS RS 触发器是数字电路中具有存储功能的一种基本单元电路。 Q Q Q 和 Q ‾ \overline Q Q 是一对互补的状态输出端，当 Q Q Q 为高电平时， Q ‾ \overline Q Q 为低电平；当 Q Q Q 为低电平时， Q ‾ \overline Q Q 为高电平。 S S S 和 R ‾ \overline R R 是两个输入端，当 S S S 和 R ‾ \overline R R 均为低电平时， Q Q Q 为低电平， Q ‾ \overline Q Q 为高电平；反之，当 S S S 和 R ‾ \overline R R 均为高电平时， Q Q Q 为高电平， Q ‾ \overline Q Q 为低电平；当 S S S 为低电平且 R ‾ \overline R R 为高电平时， Q Q Q 和 Q ‾ \overline Q Q 保持原状态不变，即存储 S S S 和 R ‾ \overline R R 变化前的状态。
两个电压比较器的电压传输特性如图8.3.19所示。
2、工作原理
当给函数发生器 ICL8038 合闸通电时，电容 C C C 的电压为 0 V 0\,\textrm V 0V，根据图8.3.19所示电压传输特性，电压比较器Ⅰ和 Ⅱ 的输出电压均为低电平；因而 R S RS RS 触发器的输出 Q Q Q 为低电平， Q ‾ \overline Q Q 为高电平；使开关 S \textrm S S 断开，电流源 I S 1 I_{S1} IS1 对电容充电，充电电流为 I S 1 = I ( 8.3.22 ) I_{S1}=I\kern 40pt(8.3.22) IS1=I(8.3.22)因充电电流是恒流，所以，电容上电压 u C u_{\scriptscriptstyle C} uC 随时间的增长而线性上升。当 u C u_{\scriptscriptstyle C} uC 上升到 1 3 V C C \displaystyle\frac{1}{3}V_{CC} 31VCC 时，虽然 R S RS RS 触发器的 R R R 端从低电平跃变为高电平，但其输出不变。一直到 u C u_{\scriptscriptstyle C} uC 上升到 2 3 V C C \displaystyle\frac{2}{3}V_{CC} 32VCC，使电压比较器Ⅰ的输出电压跃变为高电平， Q Q Q 才变为高电平（同时 Q ‾ \overline Q Q 变为低电平），导致开关 S \textrm S S 闭合，电容 C C C 开始放电，放电电流为 I S 2 − I S 1 = I ( 8.3.23 ) I_{S2}-I_{S1}=I\kern 30pt(8.3.23) IS2−IS1=I(8.3.23)因放电电流是恒流，所以，电容上电压 u C u_{\scriptscriptstyle C} uC 随时间的增长而线性下降。起初， u C u_{\scriptscriptstyle C} uC 的下降虽然使 R S RS RS 触发器的 S S S 端从高电平跃变为低电平，但其输出不变。一直到 u C u_{\scriptscriptstyle C} uC 的下降到 1 3 V C C \displaystyle\frac{1}{3}V_{CC} 31VCC，使电压比较器 Ⅱ 的输出电压跃变为低电平， Q Q Q 才变为低电平（同时 Q ‾ \overline Q Q 变为高电平），使得开关 S \textrm S S 断开，电容 C C C 又开始充电，重复上述过程，周而复始，电路产生了自激振荡。由于充电电流与放电电流数值相等，因而电容上电压为三角波， Q Q Q（和 Q ‾ \overline Q Q）为方波，经缓冲放大器输出。三角波电压通过三角波变正弦波电路输出正弦波电压。
通过以上分析可知，改变电容充放电电流，可以输出占空比可调的矩形波和锯齿波。但是，当输出不是方波时，输出也得不到正弦波了。
3、性能特点
ICL8038 是性能优良的集成函数发生器。可以单电源供电，即将管脚 11 接地，管脚 6 接 + V C C +V_{CC} +VCC， V C C V_{CC} VCC 为 10 ∼ 30 V 10\sim30\,\textrm V 10∼30V；也可用双电源供电，即将管脚 11 接 − V E E -V_{EE} −VEE，管脚 6 接 + V C C +V_{CC} +VCC，它们的值为 ± 5 V ∼ ± 15 V ±5\,\textrm V\sim±15\,\textrm V ±5V∼±15V。频率的可调范围为 0.001 Hz ∼ 300 kHz 0.001\,\textrm {Hz}\sim300\,\textrm {kHz} 0.001Hz∼300kHz。
输出矩形波的占空比可调范围为 2 % ∼ 98 % 2\%\sim98\% 2%∼98%，上升时间为 180 ns 180\,\textrm{ns} 180ns，下降时间为 40 ns 40\,\textrm {ns} 40ns。
输出三角波（斜坡波）的非线性小于 0.05 % 0.05\% 0.05%。
输出正弦波的失真度小于 1 % 1\% 1%。
4、常用接法
图8.3.20所示为 ICL8038 的管脚图，其中管脚 8 为频率调节（简称调频）电压输入端，电路的振荡频率与调频电压成正比。管脚 7 输出调频偏置电压，数值是管脚 7 与电源 + V C C +V_{CC} +VCC 之差，它可作为管脚 8 的输入电压。
图8.3.21所示为 ICL8038 最常见的两种基本接法，矩形波输出端为集电极开路形式，需外接电阻 R L R_L RL 至 + V C C +V_{CC} +VCC。在图（a）所示电路中， R A R_A RA 和 R B R_B RB 可分别独立调整。在图（b）所示电路中，通过改变电位器 R w R_{w} Rw 滑动端的位置来调整 R A R_A RA 和 R B R_B RB 的数值。当 R A = R B R_A=R_B RA=RB 时，各输出端的波形如图8.3.22(a)所示，矩形波的占空比为 50 % 50\% 50%，因而为方波。当 R A ≠ R B R_A\neq R_B RA=RB 时，矩形波不再是方波，管脚 2 也就不再是正弦波了，图8.3.22(b)所示为矩形波占空比是 15 % 15\% 15% 时各输出端的波形图。根据 ICL8038 内部电路和外接电阻可以推导出占空比的表达式为 T 1 T = 2 R A − R B 2 R A \frac{T_1}{T}=\frac{2R_A-R_B}{2R_A} TT1=2RA2RA−RB故 R B < 2 R A R_B<2R_A RB<2RA。
在图8.3.21(b)所示电路中用 100 k Ω 100\,\textrm kΩ 100kΩ 的电位器取代了图（a）所示电路中的 82 k Ω 82\,\textrm kΩ 82kΩ 电阻，调节电位器可减小正弦波的失真度。如果要进一步减小正弦波的失真度，可采用图8.2.23所示电路中两个 100 k Ω 100\,\textrm kΩ 100kΩ 所组成的电流，调整它们可使正弦波的失真度减小到 0.5 % 0.5\% 0.5%。在 R A R_{A} RA 和 R B R_B RB 不变的情况下，调整 R w 2 R_{w2} Rw2 可使电路振荡频率最大值与最小值之比达到 100 : 1 100:1 100:1。也可在管脚 8 与管脚 6（即调频电压输入端和正电源）之间直接加输入电压调节振荡频率，最高频率与最低频率之比可达 1000 : 1 1000:1 1000:1。
