代码随想录算法训练营day38 | 动态规划理论基础，509. 斐波那契数，70. 爬楼梯，746. 使用最小花费爬楼梯

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理论基础

一、解决的问题

1. 动归基础
2. 背包问题
3. 打家劫舍
4. 股票问题
5. 子序列问题

二、动态规划的解题步骤

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义（dp[i][j]，dp[i]）
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 打印dp数组

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509. 斐波那契数

教程视频：https://www.bilibili.com/video/BV1f5411K7mo/?spm_id_from=pageDriver&vd_source=ddffd51aa532d23e6feac69924e20891

解法一：动态规划

1、确定dp数组以及下标的含义
	   dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]；
2、确定递推公式（题目中给出）
       状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
3、dp数组如何初始化（题目中给出）
       dp[0] = 0;dp[1] = 1;
4、确定遍历顺序
       从递归公式可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，遍历顺序一定是从前到后。
5、举例推导dp数组

//非压缩状态的版本
class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n <= 1) return n;             
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int index = 2; index <= n; index++){
            dp[index] = dp[index - 1] + dp[index - 2];
        }
        return dp[n];
    }
}

解法二：递归

class Solution {
	//参数和返回值
    public int fib(int n) {
    	//终止条件
        if(n<=1){
            return n;
        }
        //递归逻辑
        return fib(n-1)+fib(n-2);
    }
}

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70. 爬楼梯

教程视频：https://www.bilibili.com/video/BV17h411h7UH/?spm_id_from=pageDriver&vd_source=ddffd51aa532d23e6feac69924e20891

1、确定dp数组以及下标的含义
	   dp[i]的定义为：到达第i阶的方案数；
2、确定递推公式
       状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
3、dp数组如何初始化
       dp[1] = 1;dp[2] = 2;
4、确定遍历顺序
       从递归公式可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，遍历顺序一定是从前到后。
5、举例推导dp数组

解法一：动态规划

//常规动态规划
class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        if(n<=2){return n;}
        dp[1]=1;
        dp[2]=2;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
}

//使用三个int记录
class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n <= 2) return n;
        int a = 1, b = 2, sum = 0;

        for(int i = 3; i <= n; i++){
            sum = a + b;  // f(i - 1) + f(i - 2)
            a = b;        // 记录f(i - 1)，即下一轮的f(i - 2)
            b = sum;      // 记录f(i)，即下一轮的f(i - 1)
        }
        return b;
    }
}

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746. 使用最小花费爬楼梯

教程视频：https://www.bilibili.com/video/BV16G411c7yZ/?spm_id_from=pageDriver&vd_source=ddffd51aa532d23e6feac69924e20891

1、确定dp数组以及下标的含义
	   dp[i]的定义为：到达第i阶的最低花费；
2、确定递推公式
       状态转移方程 dp[i]=Math.min(dp[i-2]+cost[i-2],dp[i-1]+cost[i-1]);
3、dp数组如何初始化
       dp[0] = 0;dp[1] = 0;
4、确定遍历顺序
       从递归公式可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，遍历顺序一定是从前到后。
5、举例推导dp数组

class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        int[] dp = new int[cost.length+1];
        dp[0]=0;
        dp[1]=0;
        for(int i=2;i<=cost.length;i++){
            dp[i]=Math.min(dp[i-2]+cost[i-2],dp[i-1]+cost[i-1]);
        }
        return dp[dp.length-1];
    }
}

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总结

掌握动态规划五步很重要，尤其是dp[i]含义和状态转移方程。